Elemente de algebra liniara.pdf

76 Elemente de algebră liniară
Demonstrat¸ie. Avem
det(A ′ − λI) = det(S −1 AS − λI) = det(S −1 (A − λI)S)
= detS−1 det(A − λI) detS = 1
detS det(A − λI) detS = det(A − λI).
Observat¸ia 3.16 Deoarece
P (λ) = (−1) n λ n + (−1) n−1 (a11 + a22 + ... + ann)λ n−1 + ... + det A
rezultă că în cazul unui operator liniar A : V −→ V , parametrii
tr A = a11 + a22 + ... + ann
(urma operatorului) ¸si det A definit¸i cu ajutorul unei baze nu depind de baza aleasă.
Teorema 3.31 Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si fie A : V −→ V un operator
liniar. Numărul λ ∈ K este valoare proprie a lui A dacă ¸si numai dacă este rădăcină
a polinomului caracteristic, adică dacă P (λ) = 0.
Demonstrat¸ie. Conform definit¸iei, λ ∈ K este valoare proprie dacă ¸si numai dacă
există x = 0 cu Ax = λx.
sistemul ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
Într-o bază fixată, acest lucru este echivalent cu faptul că
(a11 − λ)x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0
a21x1 + (a22 − λ)x2 + · · · + a2nxn = 0
...................................................
an1x1 + an2x2 + · · · + (ann − λ)xn = 0
are ¸si alte solut¸ii în afară de (0, 0, ..., 0), ceea ce are loc dacă ¸si numai dacă
a11 − λ a12 · · · a1n
a21 a22 − λ · · · a2n
= 0.
· · · · · · · · · · · ·
an1 an2 · · · ann − λ
În cazul în care V este spat¸iu vectorial real numai rădăcinile reale ale polinomului
caracteristic sunt valori proprii ale lui A.