Elemente de algebra liniara.pdf

200 Elemente de algebră liniară
Aplicat¸ia C-liniară A : C su(2) −→ sl(2, C) definită prin
Au1 = −i a3, Au2 = 1
2 (a+ − a−), Au3 = − i
2 (a+ + a−)
este un izomorfism de algebre Lie deoarece
[Au1, Au2] =
[Au2, Au3] =
[Au3, Au1] =
−i a3, 1
2 (a+
− a−) = − i
2 [a3, a+] + i
2 [a3, a−]
= − i
2 (a+ + a−) = A u3 = A [u1, u2]
1
2 (a+ − a−), − i
2 (a+
+ a−) = − i
4 ([a+, a−] − [a−, a+])
= − i
2 [a+, a−] = −i a3 = Au1 = A [u2, u3]
− i
2 (a+
+ a−), −i a3 = − 1
2 [a+, a3] − 1
2 [a−, a3]
= − 1
2 a+ − 1
2 a− = Au2 = A [u3, u1].
Observat¸ia 9.8 Din propozit¸ia 9.23 rezultă că descrierea reprezentarilor ireductibile
ale algebrelor Lie izomorfe o(3) ¸si su(2) este echivalentă cu descrierea reprezentarilor
ireductibile ale algebrei Lie complexe C su(2).
Pe de altă parte, din propozit¸iile 9.15 ¸si 9.24 rezultă că descrierea reprezentărilor ire-
ductibile ale algebrei C su(2) este echivalentă cu descrierea reprezentărilor ireductibile
ale algebrei sl(2, C), reprezentări descrise în teorema 9.19.
Propozit¸ia 9.25 Plecând de la orice algebră Lie complexă L se poate obt¸ine o al-
gebră Lie reală L0 prin restrict¸ia scalarilor ¸si
dimRL0 = 2 dimCL.
Observat¸ia 9.9 Alegând baze adecvate, se poate arăta că algebra Lie reală sl(2, C)0
obt¸inută din sl(2, C) prin restrict¸ia scalarilor este izomorfă cu algebra Lie o(1, 3) a
grupului Lorentz.