Elemente de algebra liniara.pdf

Algebre Lie. Reprezentări liniare 195
ceea ce arată că relat¸iile (9.2) definesc o reprezentare a algebrei Lie sl(2, C). Fie
W = {0} un subspat¸iu invariant ¸si fie
x = x−j v−j + x−j+1 v−j+1 + · · · + xj vj ∈ W
un vector nenul fixat. Cel put¸in unul dintre coeficient¸ii lui x este nenul. Fie
Din (9.2) rezultă că
k = min{ l | xl = 0 }
(A+) j−l x = c vj
unde c este o constantă nenulă. Deoarece W este invariant, din relat¸ia precedentă
rezultă că vj ∈ W ¸si apoi că vectorii
A−vj, (A−) 2 vj, (A−) 3 vj, ... , (A−) 2j vj
care coincid până la înmult¸irea cu anumite constante nenule cu vectorii
vj−1, vj−2, ... , v−j
apart¸in lui W . Rezultă astfel că orice subspat¸iu invariant nenul W coincide cu V .
b) Dacă
ϱ : sl(2, C) −→ gl(V ), ϱ ′ : sl(2, C) −→ gl(V ′ )
sunt două reprezentări liniare de dimensiune n = 2j + 1 ¸si
bazele corespunzătoare atunci
este un izomorfism liniar ¸si
{v−j, v−j+1, ... , vj }, {v ′ −j, v ′ −j+1, ... , v ′ j }
S : V −→ V ′ , Svk = v ′ k
ϱ(a) = S −1 ϱ ′ (a) S, ∀a ∈ sl(2, C).
c) Afirmat¸ia rezultă din propozit¸iile 9.17 ¸si 9.18.