Elemente de algebra liniara.pdf

More documents

Recommendations

Info

24 Elemente de algebră liniară Elementele lui V se numesc vectori iar elementele lui K se numesc scalari. Un spat¸iu vectorial peste R este numit spatiu vectorial real iar un spat¸iu vectorial peste C este numit spat¸iu vectorial complex. In loc de x + (−y) scriem x − y. Propozit¸ia 2.2 Dacă V este un spat¸iu vectorial atunci: a) αx = 0 ⇐⇒ α = 0 sau x = 0 b) α(−x) = (−α)x = −αx c) α(x − y) = αx − αy d) (α − β)x = αx − βx. Demonstrat¸ie. a) b) c) d) αx = 0 α = 0 =⇒ x = 1 0 = 0 α 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x =⇒ 0x = 0 α(0 + 0) = α0 + α0 =⇒ α0 = 0. 0 = α0 = α(x + (−x)) = αx + α(−x) =⇒ α(−x) = −αx 0 = 0x = (α + (−α))x = αx + (−α)x =⇒ (−α)x = −αx. α(x − y) = α(x + (−y)) = αx + α(−y) = αx − αy. (α − β)x = (α + (−β))x = αx + (−β)x = αx − βx. Exemplul 2.1 (R 3 , +, ·), unde este un spat¸iu vectorial real. Exemplul 2.2 Mult¸imea (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) α(x1, x2, x3) = (αx1, αx2, αx3) M2×3(R) = x11 x12 x13 x21 x22 x23 xij ∈ R
Spat¸ii vectoriale 25 are o structură de spat¸iu vectorial real definită prin x11 x21 x12 x22 x13 x23 y11 + y21 y12 y22 y13 y23 x11 + y11 = x21 + y21 x12 + y12 x22 + y22 x13 + y13 x23 + y23 x11 α x21 x12 x22 x13 x23 αx11 = αx21 αx12 αx22 αx13 αx23 . Exemplul 2.3 Mult¸imea F(R, C) a tuturor funct¸iilor ϕ : R −→ C are o structură de spat¸iu vectorial complex definită de (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) (α ϕ)(x) = α ϕ(x), ∀α ∈ C. Exemplul 2.4 R are o structura de spat¸iu vectorial real în raport cu adunarea ¸si înmult¸irea uzuală. Exemplul 2.5 (C, +, ·), unde este un spat¸iu vectorial real. (x1 + y1i) + (x2 + y2i) = x1 + x2 + (y1 + y2)i α(x + yi) = αx + αyi, ∀α ∈ R Exemplul 2.6 C are o structura de spat¸iu vectorial complex în raport cu adunarea ¸si înmult¸irea numerelor complexe. 2.2 Subspat¸ii vectoriale Definit¸ia 2.3 Fie V un spat¸iu vectorial peste K. Prin subspat¸iu vectorial al lui V se int¸elege orice submult¸ime W ⊆ V cu proprietatea x, y ∈ W α, β ∈ K =⇒ αx + βy ∈ W. (2.1)
Page 1: Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ
Page 5 and 6: Cuprins 1 Matrice ¸si determinant
Page 7 and 8: Capitolul 1 Matrice ¸si determinan
Page 9 and 10: Matrice ¸si determinant¸i 11 Demo
Page 11 and 12: Matrice ¸si determinant¸i 13 Obse
Page 13 and 14: Matrice ¸si determinant¸i 15 Defi
Page 15 and 16: Matrice ¸si determinant¸i 17 Prop
Page 17 and 18: Matrice ¸si determinant¸i 19 (dez
Page 19 and 20: Matrice ¸si determinant¸i 21 Teor
Page 21: Capitolul 2 Spat¸ii vectoriale 2.1
Page 25 and 26: Spat¸ii vectoriale 27 Exemplul 2.1
Page 27 and 28: Spat¸ii vectoriale 29 Exercit¸iul
Page 29 and 30: Spat¸ii vectoriale 31 Exercit¸iul
Page 31 and 32: Spat¸ii vectoriale 33 adică ceea
Page 33 and 34: Spat¸ii vectoriale 35 Teorema 2.17
Page 35 and 36: Spat¸ii vectoriale 37 ¸si înmult
Page 37 and 38: Spat¸ii vectoriale 39 Dezvoltând
Page 39 and 40: Spat¸ii vectoriale 41 acestea. Ace
Page 41 and 42: Spat¸ii vectoriale 43 Demonstrat¸
Page 43 and 44: Spat¸ii vectoriale 45 ¸si t¸inâ
Page 45 and 46: Spat¸ii vectoriale 47 cu (x, x)
Page 47 and 48: Spat¸ii vectoriale 49 Demonstrat¸
Page 49 and 50: Capitolul 3 Aplicat¸ii liniare 3.1
Page 51 and 52: Aplicat¸ii liniare 53 Expresia în
Page 53 and 54: Aplicat¸ii liniare 55 rezultă A(
Page 55 and 56: Aplicat¸ii liniare 57 conduce la r
Page 57 and 58: Aplicat¸ii liniare 59 ¸si înmult
Page 59 and 60: Aplicat¸ii liniare 61 Alegând x =
Page 61 and 62: Aplicat¸ii liniare 63 Teorema 3.14
Page 63 and 64: Aplicat¸ii liniare 65 Propozit¸ia
Page 65 and 66: Aplicat¸ii liniare 67 Exercit¸iul
Page 67 and 68: Aplicat¸ii liniare 69 Aplicat¸ia
Page 69 and 70: Aplicat¸ii liniare 71 numită matr
Page 71 and 72: Aplicat¸ii liniare 73 ¸si A ′
Page 73 and 74:
Aplicat¸ii liniare 75 relat¸ie ca
Page 75 and 76:
Aplicat¸ii liniare 77 Definit¸ia
Page 77 and 78:
Aplicat¸ii liniare 79 a lui R 3 fo
Page 79 and 80:
Aplicat¸ii liniare 81 Observat¸ia
Page 81:
Aplicat¸ii liniare 83 Este suficie
Page 84 and 85:
86 Elemente de algebră liniară c)
Page 86 and 87:
88 Elemente de algebră liniară de
Page 88 and 89:
90 Elemente de algebră liniară Re
Page 90 and 91:
92 Elemente de algebră liniară De
Page 92 and 93:
94 Elemente de algebră liniară Re
Page 94 and 95:
96 Elemente de algebră liniară De
Page 96 and 97:
98 Elemente de algebră liniară Di
Page 98 and 99:
100 Elemente de algebră liniară b
Page 100 and 101:
102 Elemente de algebră liniară f
Page 102 and 103:
104 Elemente de algebră liniară D
Page 104 and 105:
106 Elemente de algebră liniară T
Page 106 and 107:
108 Elemente de algebră liniară S
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
112 Elemente de algebră liniară u
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
116 Elemente de algebră liniară d
Page 116 and 117:
118 Elemente de algebră liniară m
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
122 Elemente de algebră liniară r
Page 122 and 123:
124 Elemente de algebră liniară u
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
128 Elemente de algebră liniară a
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
Page 136 and 137:
138 Elemente de algebră liniară P
Page 138 and 139:
Page 140 and 141:
Page 142 and 143:
Page 144 and 145:
146 Elemente de algebră liniară I
Page 146 and 147:
Page 148 and 149:
Page 150 and 151:
152 Elemente de algebră liniară e
Page 152 and 153:
154 Elemente de algebră liniară S
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
158
Page 158 and 159:
Page 160 and 161:
Page 162 and 163:
Page 164 and 165:
Page 166 and 167:
168 Elemente de algebră liniară 8
Page 168 and 169:
Page 170 and 171:
172 Elemente de algebră liniară p
Page 172 and 173:
174 Elemente de algebră liniară c
Page 174 and 175:
176
Page 176 and 177:
Page 178 and 179:
Page 180 and 181:
Page 182 and 183:
184 Elemente de algebră liniară e
Page 184 and 185:
186 Elemente de algebră liniară c
Page 186 and 187:
Page 188 and 189:
190 Elemente de algebră liniară v
Page 190 and 191:
192 Elemente de algebră liniară L
Page 192 and 193:
Page 194 and 195:
Page 196 and 197:
198 Elemente de algebră liniară o
Page 198 and 199:
200 Elemente de algebră liniară A
Page 200:
202 Elemente de algebră liniară [
show all

Elemente de algebra liniara.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?