Elemente de algebra liniara.pdf

Algebre Lie. Reprezentări liniare 189
rezultă
Sx ∈ S(W ) =⇒ ϱ2(a)Sx = Sϱ1(a)x ∈ S(W ), ∀a ∈ L.
Definit¸ia 9.16 Spunem că reprezentările liniare
ϱ1 : L −→ gl(V1) si ϱ2 : L −→ gl(V2)
sunt echivalente dacă există un izomorfism liniar S : V1 −→ V2 astfel încât
adică dacă diagrama
V1
ϱ1(a) = S −1 ϱ2(a) S (9.1)
ϱ1(a)
S S
❄
ϱ2(a)
✲
❄
V2
este comutativă oricare ar fi a ∈ L.
9.4 Reprezentările algebrelor sl(2, C), su(2) ¸si o(3)
Exercit¸iul 9.10 Să se arate că matricele
a3 = 1
1
2 0
0
,
−1
0
a+ =
0
1
,
0
0
a− =
1
0
0
formează o bază a algebrei Lie complexe sl(2, C) ¸si
Dacă
✲
V1
V2
[a3, a±] = ±a±, [a+, a−] = 2 a3.
ϱ : sl(2, C) −→ gl(V )
este o reprezentare a algebrei Lie sl(2, C) în spat¸iul V atunci operatorii liniari
A3 = ϱ(a3), A+ = ϱ(a+), A− = ϱ(a−)