Elemente de algebra liniara.pdf

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuatii diferent¸iale liniare 139
verifică relat¸ia
unde x0 ∈ I este un punct fixat.
W (x) = W (x0) e − x a1 (t)
x0 a0 (t) dt
Demonstrat¸ie (cazul n = 2.) Arătăm că W verifică ecuat¸ia liniară
In cazul n = 2 ecuat¸ia Ly = 0, adică
conduce la
¸si
W ′ (x) = − a1(x)
W (x).
a0(x)
a0(x) y ′′ + a1(x) y ′ + a2 y = 0
y ′′ = − a1(x)
a0(x) y′ − a2(x)
a0(x) y
W ′ (x) = d
y1(x) y2(x)
dx
y ′ 1 (x) y′ 2 (x)
y
=
′ 1 (x) y′ 2 (x)
y ′ 1 (x) y′ 2 (x)
+
y1(x) y2(x)
y ′′
1 (x) y′′ 2 (x)
a1(x)
= − a0(x) W (x).
(7.13)
Observat¸ia 7.6 Din relat¸ia (7.13) rezultă că dacă W se anulează într-un punct din
I atunci se anulează în toate punctele.
Propozit¸ia 7.15 Solut¸ia generală a ecuat¸iei liniare neomogene
Ly = f
se obt¸ine adunând la solut¸ia generală a ecuat¸iei omogene asociate
Ly = 0
o solut¸ie particulară ˜y a ecuat¸iei neomogene.
Demonstrat¸ie. Deoarece L˜y = f obt¸inem
Ly =0 =⇒ L(y + ˜y)=f si Ly =f =⇒ L(y − ˜y)=0.