Elemente de algebra liniara.pdf

Aplicat¸ii liniare 61
Alegând x = e1 obt¸inem α1 = 0, alegând x = e2 obt¸inem α2 = 0, etc.
B ∗ este sistem de generatori. Dacă ϕ ∈ V ∗ atunci notând ϕi = ϕ(ei) obtinem
ϕ(x) = ϕ(x 1 e1 + x 2 e2 + · · · + x n en) = x 1 ϕ(e1) + x 2 ϕ(e2) + · · · + x n ϕ(en)
= e 1 (x) ϕ1 + e 2 (x) ϕ2 + · · · + e n (x) ϕn = (ϕ1e 1 + ϕ2e 2 + · · · + ϕne n )(x)
oricare ar fi x ∈ V , adică
3.5 Tensori
ϕ = ϕ1e 1 + ϕ2e 2 + · · · + ϕne n = ϕie i .
Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K ¸si fie două baze ale lui V
¸si
B = {e1, e2, ..., en} (baza veche)
B ′ = {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n} (baza noua)
B ∗ = {e 1 , e 2 , ..., e n }
B ′∗ = {e ′1 , e ′2 , ..., e ′n }
dualele lor. Fiecare vector x ∈ V se poate dezvolta în raport cu cele două baze
¸si am arătat că
x = x i ei = x ′j e ′ j
x i = e i (x), x ′j = e ′j (x).
Similar, fiecare element ϕ ∈ V ∗ admite dezvoltările
¸si
ϕ = ϕi e i = ϕ ′ j e ′j
ϕi = ϕ(ei), ϕ ′ j = ϕ(e ′ j).