Elemente de algebra liniara.pdf

180 Elemente de algebră liniară
Definit¸ia 9.6 Prin subalgebră Lie a algebrei L se înt¸elege un subspat¸iu vectorial
astfel încât
a ∈ L1
b ∈ L1
L1 ⊆ L
=⇒ [a, b] ∈ L1.
Observat¸ia 9.3 Fiecare subalgebră Lie a unei algebre L are o structură de algebră
Lie.
Exercit¸iul 9.2 a) Mult¸imea matricelor de urmă nulă
sl(n, K)={ g ∈gl(n, K) | tr g =g 1 1 +g 2 2 + · · · +g n n =0 }
este o subalgebră Lie de dimensiune n 2 −1 a algebrei gl(n, K).
b) Mult¸imea matricelor antihermitice
u(n) = { g ∈ gl(n, C) |
t ¯g = −g }
are o structură naturală de algebră Lie reală de dimensiune n 2 .
c) Mult¸imea matricelor antihermitice de urmă nulă
su(n) = u(n) ∩ sl(n, C) = { g ∈ u(n) | tr g = 0 }
are o structură naturală de algebră Lie reală de dimensiune n 2 − 1.
d) Mult¸imea matricelor strâmb simetrice
o(n) = { g ∈ gl(n, R) |
t g = −g }
are o structură naturală de algebră Lie reală de dimensiune n(n−1)
2 .
e) Mult¸imea de matrice
⎧
⎪⎨
o(1, 3)= g ∈gl(4, R)
⎪⎩
⎛
⎜
g ⎜
⎝
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
⎞
⎛
⎟
⎠ =−
⎜
⎝
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
⎞
⎫
⎟ ⎪⎬
⎟ t
⎟ g
⎠
⎪⎭