Elemente de algebra liniara.pdf

Spat¸ii vectoriale euclidiene 109
Demonstrat¸ie. A se vedea demonstrat¸ia propozit¸iei 4.31 .
Propozit¸ia 4.42 Fie A ∈ L(V ). Următoarele afirmat¸ii sunt echivalente:
a) A este transformare ortogonală
b) A ∗ A = I
c) A este bijectivă ¸si A −1 = A ∗ .
Demonstrat¸ie. A se vedea demonstrat¸ia propozit¸iei 4.32.
Propozit¸ia 4.43 Fie A ∈ Mn×n(R) o matrice cu n linii ¸si n coloane cu elemente
numere reale ¸si fie t A transpusa ei. Relat¸iile
A t A = I,
t A A = I, A −1 = t A.
unde I ∈ Mn×n(C) este matricea unitate, sunt echivalente.
Demonstrat¸ie. A se vedea demonstrat¸ia propozit¸iei 4.33.
Definit¸ia 4.44 Matricea A∈Mn×n(C) este numită matrice ortogonală dacă
t A A=I
(condit¸ie echivalentă cu A −1 = t A ¸si A t A = I).
Observat¸ia 4.9 Dacă A este o matrice ortogonală atunci detA ∈ {−1, 1}.
Teorema 4.45 Matricea de trecere între două baze ortonormate ale unui spat¸iu
vectorial euclidean real este o matrice ortogonală.
Demonstrat¸ie. A se vedea demonstrat¸ia teoremei 4.35.
Propozit¸ia 4.46 O transformare liniară este transformare ortogonală dacă ¸si nu-
mai dacă matricea ei în raport cu o bază ortonormată este o matrice ortogonală.
Demonstrat¸ie. A se vedea demonstrat¸ia propozit¸iei 4.36.
Teorema 4.47 Dacă A : V −→ V este o transformare ortogonală atunci:
a) orice valoare proprie λ este egală cu 1 sau −1.
b) vectorii proprii corespunzători la valori proprii distincte sunt ortogonali.