Elemente de algebra liniara.pdf

Algebre Lie. Reprezentări liniare 185
9.2 Reprezentări liniare
Definit¸ia 9.8 Fie L o algebră Lie peste K ¸si L ′ o algebră Lie peste K ′ , unde cor-
purile K ¸si K ′ apart¸inând lui {R, C} sunt astfel încât K ⊆ K ′ . Prin morfism de
algebre Lie de la L la L ′ se înt¸elege o aplicat¸ie liniară A : L −→ L ′ cu proprietatea
A([a, b]) = [Aa, Ab], ∀a, b ∈ L.
Definit¸ia 9.9 Spunem ca algebrele Lie L ¸si L ′ peste acela¸si corp K sunt izomorfe
dacă există un morfism bijectiv de algebre Lie (numit izomorfism) A : L −→ L ′ .
Propozit¸ia 9.10 Dacă algebrele Lie L ¸si L ′ peste acela¸si corp K ¸si de aceea¸si di-
mensiune au în raport cu două baze {e1, e2, ..., en} ¸si respectiv {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n} acelea¸si
constante de structură
atunci ele sunt izomorfe.
n
[ei, ej] = c
k=1
k ij ek, [e ′ i, e ′ n
j] = c
k=1
k ij e ′ k
Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia A : L −→ L ′ , Aej = e ′ j , adică
n
n
A( ai ei) = ai e
i=1
i=1
′ i
este un izomorfism de algebre Lie. Ea este, evident, liniară, bijectivă ¸si
A[a, b]
ni=1 = A ai ei,
n
j=1 bj ej = n i,j=1 ai bj A[ei, ej]
= n i,j=1 ai bj
nk=1 ck ijAek = n i,j=1 ai bj
nk=1 ck ije′ k
= n i,j=1 ai bj [e ′ i , e′ j ] = n i,j=1 ai bj [Aei, Aej] = [Aa, Ab].
Propozit¸ia 9.11 Algebrele Lie reale o(3) ¸si su(2) sunt izomorfe.
Demonstrat¸ie. Algebra Lie o(3) admite baza
{ o1 = e 2 3 − e 3 2, o2 = e 3 1 − e 1 3, o3 = e 1 2 − e 2 1 }