You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
72 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 3.26 Fie A : U −→ V , B : V −→ W două aplicat¸ii liniare¸si fie BU,<br />
BV ¸si BW baze în spat¸iile vectoriale U, V ¸si W respectiv. Matricea aplicat¸iei<br />
BA : U −→ W, (BA)x = B(Ax)<br />
în raport cu bazele BU, BW este produsul dintre matricea aplicat¸iei B în raport cu<br />
bazele BV , BW ¸si matricea aplicat¸iei A în raport cu bazele BU, BV .<br />
Demonstrat¸ie. Fie BU ={u1, u2, ..., un}, BV ={v1, v2, ..., vm} ¸si BW ={w1, w2, ..., wp}.<br />
Dacă<br />
atunci<br />
Aui =<br />
m<br />
aji vj, Bvj =<br />
j=1<br />
p<br />
bkj wk<br />
k=1<br />
(BA)ui = B(Aui) = B m j=1 aji vj = m j=1 aji Bvj<br />
= m j=1 aji<br />
p k=1 bkj wk = <br />
p mj=1 <br />
k=1<br />
bkjaji wk.<br />
Observat¸ia 3.14 În cazul unei aplicat¸ii A : V −→ V alegem, în general, o singură<br />
bază.<br />
Teorema 3.27 La o schimbare <strong>de</strong> bază matricea unei aplicat¸ii liniare se schimbă<br />
după formula<br />
A ′ = S −1 AS<br />
un<strong>de</strong> S este matricea <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la baza veche la baza nouă.<br />
Demonstrat¸ie. Fie bazele B = {e1, e2, ..., en}, B ′ = {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n},<br />
⎛<br />
α11<br />
⎜ α21<br />
S = ⎜ · · ·<br />
⎝<br />
α12<br />
α22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
α1n<br />
α2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
un<strong>de</strong> e ′ n<br />
i = αji ej<br />
j=1<br />
αn1 αn2 · · · αnn<br />
matricea <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la B la B ′ ¸si fie<br />
⎛<br />
a11<br />
⎜ a21<br />
A = ⎜ · · ·<br />
⎝<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
ak1 ak2 · · · akn<br />
un<strong>de</strong> Aei =<br />
n<br />
aki ek<br />
k=1
Change language