Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
38 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Teorema 2.21 (Kronecker) Dacă<br />
⎛<br />
a11<br />
⎜ a21<br />
A = ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1m<br />
a2m<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟ ∈ Mn×m(K)<br />
⎠<br />
¸si<br />
atunci<br />
an1 an2 · · · anm<br />
Ai = (ai1 ai2 ... aim) ∈ M1×m(K), A j ⎛ ⎞<br />
a1j<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ a2j ⎟<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ∈ Mn×1(K)<br />
⎝ . ⎠<br />
anj<br />
rang A = dim〈A1, A2, ..., An〉 = dim〈A 1 , A 2 , ..., A m 〉.<br />
Demonstrat¸ie. Fie r = rang A. Deoarece rangul lui A nu se schimbă prin permutarea<br />
liniilor (sau coloanelor) putem presupune că<br />
<br />
<br />
a11<br />
<br />
a21<br />
d = <br />
· · ·<br />
<br />
ar1<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
ar2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1r<br />
a2r<br />
· · ·<br />
arr<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0.<br />
<br />
<br />
<br />
Arătăm că {A 1 , A 2 , ..., A r } este sistem liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt ¸si că matricele A r+1 ,...,A m<br />
din Mn×1(K) sunt combinat¸ii liniare <strong>de</strong> A 1 , A 2 , ... , A r . Din relat¸ia<br />
rezultă că ⎧⎪ ⎨<br />
⎪⎩<br />
α1A 1 + α2A 2 + · · · + αrA r = 0<br />
a11α1 + a12α2 + · · · + a1rαr = 0<br />
a21α1 + a22α2 + · · · + a2rαr = 0<br />
..................................................<br />
ar1α1 + ar2α2 + · · · + arrαr = 0<br />
Acesta este un sistem Cramer cu solut¸ia α1 = α2 = · · · = αr = 0. Oricare ar fi<br />
i ∈ {1, 2, ..., n} ¸si j ∈ {1, 2, ..., m} avem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a21<br />
· · ·<br />
ar1<br />
ai1<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
ar2<br />
ai2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1r<br />
a2r<br />
· · ·<br />
arr<br />
air<br />
a1j<br />
a2j<br />
· · ·<br />
arj<br />
aij<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0.
Change language