Elemente de algebra liniara.pdf

32 Elemente de algebră liniară
c) eliminăm al treilea vector dacă acesta este combinat¸ie liniară de primii doi
d) eliminăm al patrulea vector dacă acesta este combinat¸ie liniară de vectorii
precedent¸i, etc.
Exercit¸iul 2.17 Să se obt¸ină un sistem liniar independent plecând de la sistemul
de vectori {v1, v2, v3, v4, v5} ⊂ R 4 , unde v1 = (0, 0, 0, 0), v2 = (1, 0, −1, 1), v3 =
(2, 0, −2, 2), v4 = (1, 1, 1, 1), v5 = (2, 1, 0, 2).
Răspuns. {v2, v4}.
2.5 Bază ¸si dimensiune
Definit¸ia 2.13 Prin bază a unui spat¸iu vectorial se int¸elege un sistem de generatori
format din vectori liniar independent¸i.
Observat¸ia 2.5 Pentru a arăta că un sistem de vectori B = {e1, e2, ..., en} este bază
lui V avem de arătat că:
a) V = 〈e1, e2, ..., en〉
b) α1 e1 + α2 e2 + · · · + αn en = 0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0.
Exercit¸iul 2.18 Să se arate că B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} este bază a spat¸iului
vectorial R 2 .
Rezolvare. B este sistem de generatori: oricare ar fi (x1, x2) din R 2 avem
(x1, x2) = x1e1 + x2e2.
B este sistem de vectori liniar independent¸i: din relat¸ia
rezultă
α1e1 + α2e2 = 0
α1(1, 0) + α2(0, 1) = (0, 0)