Elemente de algebra liniara.pdf

Spat¸ii vectoriale euclidiene 87
relat¸ia devine
〈x, x〉 −
adică 〈x, x〉 〈y, y〉 ≥ |〈x, y〉| 2 .
|〈x, y〉|2
〈y, y〉
− |〈x, y〉|2
〈y, y〉
+ |〈x, y〉|2
〈y, y〉
≥ 0.
Definit¸ia 4.4 Fie V un spat¸iu vectorial peste K. Prin normă pe V se înt¸elege o
aplicatie
astfel încât
a) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ V ¸si
||.|| : V −→ R
||x|| = 0 dacă ¸si numai dacă x = 0
b) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ V
c) ||αx|| = |α| · ||x||, ∀x ∈ V ¸si ∀α ∈ K.
Propozit¸ia 4.5 Dacă 〈, 〉 : V × V −→ K este produs scalar atunci
este o normă pe V .
Demonstrat¸ie. Avem
|| · || : V −→ R, ||x|| =
〈x, x〉
||x|| = 〈x, x〉 ≥ 0 si ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0
||αx|| = 〈αx, αx〉 = α¯α〈x, x〉 = |α| ||x||
||x + y|| 2 = 〈x + y, x + y〉
= 〈x, x〉 + 〈x, y〉 + 〈y, x〉 + 〈y, y〉
= ||x|| 2 + 2 Re〈x, y〉 + ||y|| 2
≤ ||x|| 2 + 2 |Re〈x, y〉| + ||y|| 2
≤ ||x|| 2 + 2 |〈x, y〉| + ||y|| 2
≤ ||x|| 2 + 2 ||x|| ||y|| + ||y|| 2
= (||x|| + ||y||) 2