Elemente de algebra liniara.pdf

24 Elemente de algebră liniară
Elementele lui V se numesc vectori iar elementele lui K se numesc scalari. Un spat¸iu
vectorial peste R este numit spatiu vectorial real iar un spat¸iu vectorial peste C este
numit spat¸iu vectorial complex. In loc de x + (−y) scriem x − y.
Propozit¸ia 2.2 Dacă V este un spat¸iu vectorial atunci:
a) αx = 0 ⇐⇒ α = 0 sau x = 0
b) α(−x) = (−α)x = −αx
c) α(x − y) = αx − αy
d) (α − β)x = αx − βx.
Demonstrat¸ie. a)
b)
c)
d)
αx = 0
α = 0
=⇒ x = 1
0 = 0
α
0x = (0 + 0)x = 0x + 0x =⇒ 0x = 0
α(0 + 0) = α0 + α0 =⇒ α0 = 0.
0 = α0 = α(x + (−x)) = αx + α(−x) =⇒ α(−x) = −αx
0 = 0x = (α + (−α))x = αx + (−α)x =⇒ (−α)x = −αx.
α(x − y) = α(x + (−y)) = αx + α(−y) = αx − αy.
(α − β)x = (α + (−β))x = αx + (−β)x = αx − βx.
Exemplul 2.1 (R 3 , +, ·), unde
este un spat¸iu vectorial real.
Exemplul 2.2 Mult¸imea
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
α(x1, x2, x3) = (αx1, αx2, αx3)
M2×3(R) =
x11 x12 x13
x21 x22 x23
xij ∈ R