Elemente de algebra liniara.pdf

92 Elemente de algebră liniară
Demonstrat¸ie. Prin calcul direct se arată că e2 ⊥e1, apoi e3 ⊥e1 ¸si e3 ⊥e2, etc.
Observat¸ia 4.4 Un sistem ortonormat {e1, e2, ... , ek} este format din vectori uni-
tari
si ortogonali.
||ej|| =
〈ej, ej〉 = 1
Definit¸ia 4.14 Prin bază ortonormată se înt¸elege o bază {e1, e2, ... , en} cu
〈ei, ej〉 = δij
adică o bază care este în acela¸si timp sistem ortonormat.
Teorema 4.15 Dacă B = {e1, e2, ... , en} este o bază ortonormată atunci
n
x = 〈x, ei〉ei, ∀x ∈ V
i=1
n
〈x, y〉 = 〈x, ei〉 〈ei, y〉, ∀x, y ∈ V
i=1
||x|| = n
|〈x, ei〉|
i=1
2 , ∀x ∈ V.
Demonstrat¸ie. Orice vector x ∈ V se poate scrie ca o combinat¸ie liniară
¸si avem
n
x = xi ei
i=1
n
n
n
〈x, ek〉 = xi ei, ek = xi〈ei, ek〉 = xiδik = xk
i=1
i=1
i=1
n
n
〈x, y〉 = 〈x, ei〉ei, y = 〈x, ei〉 〈ei, y〉
i=1
i=1
||x|| 2 n
n
= 〈x, x〉 = 〈x, ei〉 〈ei, x〉 = |〈x, ei〉|
i=1
i=1
2 .