Elemente de algebra liniara.pdf

Aplicat¸ii liniare 59
¸si înmult¸ire cu scalari
K × V ∗ −→ V ∗ : (λ, ϕ) ↦→ λϕ unde
este spat¸iu vectorial (numit dualul lui V ).
Demonstrat¸ie. Relat¸iile
¸si
(ϕ + ψ)(αx + βy) = ϕ(αx + βy) + ψ(αx + βy)
λϕ : V −→ K
(λϕ)(x) = λ ϕ(x)
= αϕ(x) + βϕ(y) + αψ(x) + βψ(y) = α(ϕ + ψ)(x) + β(ϕ + ψ)(y)
(λϕ)(αx + βy) = λ ϕ(αx + βy) = λ(αϕ(x) + βϕ(y)) = α(λϕ)(x) + β(λϕ)(y)
arată că operat¸iile de adunare ¸si înmult¸ire cu scalari sunt bine definite. Din relat¸ia
((ϕ + ψ) + η)(x) = (ϕ + ψ)(x) + η(x) = (ϕ(x) + ψ(x)) + η(x)
= ϕ(x) + (ψ(x) + η(x)) = ϕ(x) + (ψ + η)(x) = (ϕ + (ψ + η))(x)
verificată oricare ar fi x ∈ V rezultă că adunarea din V ∗ este asociativă
iar din relat¸ia
(ϕ + ψ) + η = ϕ + (ψ + η)
(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) = ψ(x) + ϕ(x) = (ψ + ϕ)(x)
rezultă că adunarea din V ∗ este comutativă
ϕ + ψ = ψ + ϕ.
Aplicat¸ia 0 : V −→ K : x ↦→ 0 apart¸ine lui V ∗ ¸si (0 + ϕ)(x) = ϕ(x), oricare ar fi
x ∈ V , adică 0 + ϕ = ϕ. Oricare ar fi ϕ ∈ V ∗ , aplicat¸ia
apart¸ine lui V ¸si ϕ + (−ϕ) = 0. Avem
−ϕ : V −→ K, (−ϕ)(x) = −ϕ(x)
(λ(ϕ + ψ))(x) = λ (ϕ + ψ)(x) = λϕ(x) + λψ(x) = (λϕ + λψ)(x)