Elemente de algebra liniara.pdf

68 Elemente de algebră liniară
Definit¸ia 3.21 Spunem că aplicat¸ia g : V ×V −→ K este o aplicat¸ie biliniară dacă
oricare ar fi x, y, z ∈ V ¸si α, β ∈ K.
g(αx + βy, z) = αg(x, z) + βg(y, z)
g(x, αy + βz) = αg(x, y) + βg(x, z)
Propozit¸ia 3.22 Orice aplicat¸ie biliniară g : V × V −→ K este un tensor de tip
(0, 2) ale cărui coordonate în baza B = {e1, e2, ..., en} sunt numerele gij = g(ei, ej).
Demonstrat¸ie. Avem
g ′ ij = g(e ′ i, e ′ j) = g(α k i ek, α m j em) = α k i α m j g(ek, em) = α k i α m j gkm.
Definit¸ia 3.23 Aplicat¸ia g : V ∗ × V −→ K este numită aplicat¸ie biliniară dacă
este liniară în fiecare argument, adică
g(αϕ + βψ, x) = αg(ϕ, x) + βg(ψ, x)
g(ϕ, αx + βy) = αg(ϕ, x) + βg(ϕ, y)
oricare ar fi ϕ, ψ ∈ V ∗ , x, y ∈ V ¸si α, β ∈ K.
Propozit¸ia 3.24 Orice aplicat¸ie biliniară g : V ∗ × V −→ K este un tensor de tip
(1, 1) ale cărui coordonate intr-o bază B = {e1, e2, ..., en} cu duala B ∗ = {e 1 , e 2 , ..., e n }
sunt g i j = g(ei , ej).
Demonstrat¸ie. Avem
g ′i
j = g(e ′i , e ′ j) = g(β i k e k , α m j em) = β i k α m j g(e k , em) = β i k α m j g k m.
Propozit¸ia 3.25 Orice tensor de tip (1, 1) poate fi identificat cu o aplicat¸ie biliniară
g : V ∗ × V −→ K.
Demonstrat¸ie. Folosind coordonatele T i j
fixată B = {e1, e2, ..., en} cu duala B∗ = {e1 , e2 , ..., en } definim aplicatia biliniară
ale tensorului T de tip (1, 1) într-o bază
g : V ∗ × V −→ K, g(ϕ, x) = g(ϕi e i , x j ej) = T i j ϕi x j .