You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
126 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. a) In cazul δ = 0 sistemul (6.4) are solut¸ia unică (x0, y0).<br />
b) Din relat¸ia (6.2) rezultă că ecuat¸ia conicei în reperul rezultat în urma translat¸iei<br />
cu (x0, y0) este<br />
a11 x ′2 + 2 a12 x ′ y ′ + a22 y ′2 + f(x0, y0) = 0.<br />
Deoarece valoarea parametrului ∆ nu <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> reperul utilizat<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∆ = <br />
<br />
<br />
a11 a12 0<br />
a12 a22 0<br />
0 0 f(x0, y0)<br />
relat¸ie care conduce la f(x0, y0) = ∆<br />
δ .<br />
c) Conform teoremei 4.37 în cazul formei pătratice<br />
Q : R 2 −→ R, Q(x ′ , y ′ ) = a11 x ′2 + 2 a12 x ′ y ′ + a22 y ′2<br />
există o bază ortonormată a lui R 2 formată din vectori proprii ai matricei<br />
în raport cu care Q are forma canonică<br />
<br />
a11 a12<br />
a12 a22<br />
Q : R 2 −→ R, Q(X, Y ) = λ1X 2 + λ2Y 2 .<br />
Rotind reperul rezultat în urma translat¸iei cu (x0, y0) astfel încât axele să fie dirijate<br />
<strong>de</strong>-a lungul vectorilor proprii ai matricei<br />
ecuat¸ia conicei <strong>de</strong>vine λ1 X 2 + λ2 Y 2 + ∆<br />
δ<br />
<br />
a11 a12<br />
a12 a22<br />
Observat¸ia 6.3 Dacă δ = a11a22 − a2 12<br />
a11, a22 este nenul <strong>de</strong>oarece în caz contrar am avea a11 = a12 = a22 = 0. Vom<br />
= 0.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0 atunci cel put¸in unul dintre coeficient¸ii<br />
analiza cazul a11 = 0, <strong>de</strong>oarece cazul a22 = 0 conduce la rezultate similare.
Change language