Elemente de algebra liniara.pdf

182 Elemente de algebră liniară
Definit¸ia 9.7 Fie G ⊆ GL(n, K) un subgrup. Prin subgrup cu un parametru
al grupului G se înt¸elege un morfism de grupuri
adică o aplicat¸ie astfel încât
g : R −→ G
g(t + s) = g(t) g(s), ∀t, s ∈ R.
Exercit¸iul 9.3 Oricare ar fi matricea a ∈ gl(n, K) aplicat¸ia
g : R −→ GL(n, K), g(t) = e ta
este un subgrup cu un parametru al lui GL(n, K) astfel încât
dg
(0) = a
dt
(a poate fi privit ca fiind “generatorul infinitezimal” al subgrupului considerat).
Rezolvare. T¸ inând seama de definit¸ia exponent¸ialei unei matrice obtinem
g(t + s) = e (t+s)a = e ta e sa = g(t) g(s),
d
dt eta = ae ta .
Observat¸ia 9.4 Dacă matricea A ∈ Mn×n(K) este diagonalizabilă atunci există o
matrice inversabilă S ∈ Mn×n(K) ¸si λ1, λ2, ... , λn astfel încât
⎛
A = S −1
⎜
⎝
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · λn
⎞
⎟
⎠ S
relat¸ie din care rezultă tr A = λ1 + λ2 + ... + λn ¸si egalitatea
⎛
⎞
care conduce la
e A = S −1
⎜
⎝
e λ1 0 · · · 0
0 e λ2 · · · 0
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · e λn
det e A = e λ1+λ2+...+λn = e tr A .
⎟
⎠ S