Elemente de algebra liniara.pdf

194 Elemente de algebră liniară
rezultă
A+vj−1 = 1
√ 2j A+A−vj = 1
√ 2j (A−A+ + 2A3)vj
= 1
√ 2j 2j vj = √ 2j vj = j(j+1) − (j−1)j vj.
Presupunând că A+vk = j(j + 1) − k(k + 1) vk+1 obt¸inem
1
A+vk−1 = √ A+A−vk =
j(j+1)−k(k−1)
=
=
√ 1
j(j+1)−k(k−1)
√ 1 (A−A+ + 2A3)vk
j(j+1)−k(k−1)
j(j + 1) − k(k + 1)A−vk+1 + 2A3vk
√ 1 ( (j(j + 1) − k(k + 1)) + 2k ) vk
j(j+1)−k(k−1)
= j(j + 1) − (k − 1)k vk.
Teorema 9.19 a) Oricare ar fi n∈{0, 1, 2, ...}, oricare ar fi spat¸iul vectorial complex
V de dimensiune n=2j+1 ¸si oricare ar fi baza {v−j, v−j+1, ... , vj } a lui V aplicat¸ia
definită prin relat¸iile
A3 vk = k vk, A± vk =
ϱ : sl(2, C) −→ gl(V )
j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1
(9.2)
unde A3 =ϱ(a3) ¸si A± =ϱ(a±), este o reprezentare ireductibilă a algebrei Lie sl(2, C).
b) Reprezentările (9.2) care au aceea¸si dimensiune sunt echivalente.
c) Reprezentările (9.2) sunt până la o echivalent¸ă toate reprezentările ireductibile
finit dimensionale ale algebrei Lie sl(2, C).
Demonstrat¸ie. a) Avem
[A3, A±] vk = (A3A± − A±A3)vk
= (k ± 1) j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1 − k j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1
= ± j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1 = ±A±vk
[A+, A−] vk = (A+A− − A−A+)vk
= j(j + 1) − k(k − 1) A+vk−1 − j(j + 1) − k(k + 1) A−vk+1
=(j(j + 1) − k(k − 1))vk − (j(j + 1) − k(k + 1))vk =2k vk =2A3vk