Elemente de algebra liniara.pdf

Algebre Lie. Reprezentări liniare 197
Demonstrat¸ie. Prin calcul direct se arată că
[(α + iα ′ )(a + ia ′ ) +(β + iβ ′ )(b + ib ′ ), c + ic ′ ]
= (α + iα ′ )[a + ia ′ , c + ic ′ ] + (β + iβ ′ )[b + ib ′ , c + ic ′ ]
[a + ia ′ , b + ib ′ ] = −[b + ib ′ , a + ia ′ ]
[[a + ia ′ , b + ib ′ ], c + ic ′ ] +[[b + ib ′ , c + ic ′ ], a + ia ′ ]
+[[c + ic ′ , a + ia ′ ], b + ib ′ ] = 0.
Propozit¸ia 9.22 a) Dacă L este o algebră Lie reală ¸si dacă
ϱ : L −→ gl(V )
este o reprezentare liniară (în spat¸iul vectorial complex V ) atunci
este o reprezentare liniară.
˜ϱ : C L −→ gl(V ), ˜ϱ(a + ia ′ )x = ϱ(a)x + i ϱ(a ′ )x
b) Reprezentarea ˜ϱ este ireductibilă dacă ¸si numai dacă ϱ este ireductibilă.
Demonstrat¸ie. a) Se arată prin calcul direct că ˜ϱ este aplicat¸ie C-liniară
¸si că
b) Dacă W ⊂ V este astfel încât
oricare ar fi a ∈ L, atunci
˜ϱ( (a + ia ′ ) + (b + ib ′ ) ) = ˜ϱ(a + ia ′ ) + ˜ϱ(b + ib ′ )
˜ϱ( (α + iβ)(a + ia ′ ) ) = (α + iβ) ˜ϱ(a + ia ′ )
˜ϱ( [a + ia ′ , b + ib ′ ]) = [˜ϱ(a + ia ′ ), ˜ϱ(b + ib ′ )].
x ∈ W =⇒ ϱ(a)x ∈ W
x ∈ W =⇒ ˜ϱ(a + ia ′ )x = ϱ(a)x + i ϱ(a ′ )x ∈ W
oricare ar fi a + ia ′ ∈ C L. Invers, dacă
x ∈ W =⇒ ˜ϱ(a + ia ′ )x ∈ W