Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
36 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 2.19 Pe orice spat¸iu vectorial complex V se obt¸ine o structură naturală<br />
<strong>de</strong> spat¸iu vectorial real prin restrict¸ia scalarilor ¸si<br />
dimRV = 2 dimCV.<br />
Demonstrat¸ie. Fie {v1, v2, ..., vn} o bază a spat¸iului vectorial complex V . Oricare ar<br />
fi x ∈ V există numerele complexe α1 + β1i, α2 + β2i, ... , αn + βni astfel încât<br />
x = (α1 + β1i)v1 + (α2 + β2i)v2 + · · · + (αn + βni)vn.<br />
Scriind această relat¸ie sub forma<br />
<strong>de</strong>ducem că<br />
x = α1 v1 + β1 iv1 + α2 v2 + β2 iv2 + · · · + αn vn + βn ivn<br />
B = { v1, iv1, v2, iv2, ... , vn, ivn }<br />
este sistem <strong>de</strong> generatori pentru spat¸iul vectorial real V . Arătăm că vectorii care<br />
formează sistemul B sunt liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i peste R. Relat¸ia<br />
se poate scrie<br />
α1 v1 + β1 iv1 + α2 v2 + β2 iv2 + · · · + αn vn + βn ivn = 0<br />
(α1 + β1i)v1 + (α2 + β2i)v2 + · · · + (αn + βni)vn = 0<br />
¸si conduce la α1 + β1i = α2 + β2i = · · · = αn + βni = 0, adică la<br />
α1 = β1 = α2 = β2 = · · · = αn = βn = 0.<br />
Propozit¸ia 2.20 Dacă V este un spat¸iu vectorial real atunci spat¸iul<br />
V × V = { (x1, x2) | x1, x2 ∈ V }<br />
consi<strong>de</strong>rat împreună cu adunarea pe componente<br />
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2)
Change language