Elemente de algebra liniara.pdf

Aplicat¸ii liniare 77
Definit¸ia 3.32 Fie A : V −→ V un operator liniar. Spunem că subspat¸iul W ⊆ V
este subspat¸iu invariant dacă
adică dacă
A(W ) ⊆ W
w ∈ W =⇒ Aw ∈ W.
Propozit¸ia 3.33 Subspat¸iile proprii ale unui operator liniar sunt subspat¸ii invari-
ante.
Demonstrat¸ie. Fie A : V −→ V un operator liniar, λ o valoare proprie a lui A ¸si fie
Vλ subspat¸iul propriu corespunzător. Dacă w ∈ Vλ atunci Aw = λw ∈ Vλ.
Exercit¸iul 3.16 Arătat¸i că în cazul rotat¸iei de unghi α în jurul axei Oz
Rα : R 3 −→ R 3 , Rα(x, y, z) = (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α, z)
subspat¸iile
sunt subspat¸ii invariante.
W1 = { (0, 0, z) | z ∈ R } (axa Oz)
W2 = { (x, y, 0) | x, y ∈ R } (planul xOy)