Elemente de algebra liniara.pdf

Spat¸ii vectoriale euclidiene 93
Exercit¸iul 4.3 Să se indice o bază ortonormată pentru spat¸iul vectorial
Rezolvare. Deoarece
V = { x = (x1, x2, x3) ∈ R 3 | x1 + x2 + x3 = 0 }.
V = { (x1, x2, −x1 − x2) | x1, x2 ∈ R } = { x1(1, 0, −1) + x2(0, 1, −1) | x1, x2 ∈ R }
vectorii liniar independent¸i v1 = (1, 0, −1) ¸si v2 = (0, 1, −1) formează o bază a
lui V . Ortonormalizăm această bază prin metoda Gram-Schmidt ¸si obt¸inem baza
ortonormată {e1, e2}, unde
e1 = v1
||v1|| =
e2 = v2−〈v2,e1〉 e1
||v2−〈v2,e1〉 e1||
(1,0,−1)
√ 1 2 +0 2 +(−1) 2
1
(0,1,−1)−
=
(0,1,−1)−
1
(1,0,−1)
= √ =
2
√ √2
1
,0,−
2
1
√
2
√ √2
1
,0,−
2
1
√
2
√2 1 , 0, − 1
√
2
=
− 1 √ ,
6 2 √ , −
6 1
√ .
6
4.3 Complementul ortogonal al unui subspat¸iu
Propozit¸ia 4.16 Fie V un spat¸iu cu produs scalar. Mult¸imea vectorilor ortogonali
pe o submult¸ime M a lui V
este un spat¸iu vectorial.
Demonstrat¸ie. Oricare ar fi x ∈ M avem
v, w ∈ M ⊥
α, β ∈ K
¸si prin urmare αv + βw ∈ M ⊥ .
M ⊥ = { v ∈ V | v ⊥ x, ∀x ∈ M }
=⇒ 〈αv + βw, x〉 = α〈v, x〉 + β〈w, x〉 = α · 0 + β · 0 = 0
Exercit¸iul 4.4 Indicat¸i o bază a spat¸iului M ⊥ în cazul M = {(1, 2, 3)} ⊂ R 3 .