Elemente de algebra liniara.pdf

Spat¸ii vectoriale euclidiene 89
Definit¸ia 4.6 Spunem că vectorii x, y ∈ V sunt ortogonali ¸si scriem x ⊥ y dacă
〈x, y〉 = 0.
Definit¸ia 4.7 Spunem că vectorul x ∈ V este ortogonal pe submult¸imea M ⊆
V ¸si scriem x ⊥ M dacă
x ⊥ y, ∀y ∈ M.
Definit¸ia 4.8 Spunem că {v1, v2, ..., vk} ⊂ V este un sistem ortogonal (sau sis-
tem de vectori ortogonali) dacă
oricare ar fi i = j din {1, 2, ..., k}.
〈vi, vj〉 = 0
Propozit¸ia 4.9 Orice sistem de vectori ortogonali nenuli este un sistem liniar in-
dependent.
Demonstrat¸ie. Fie {v1, v2, ..., vk} un sistem ortogonal de vectori nenuli. Din
rezultă că
α1v1 + α2v2 + · · · + αkvk = 0
0 = 〈α1v1 + α2v2 + · · · + αkvk, v1〉
= α1〈v1, v1〉 + α2〈v2, v1〉 + · · · + αk〈vk, v1〉
= α1 · ||v1|| 2 + α2 · 0 + · · · + αk · 0.
Deoarece v1 =0 se obt¸ine α1 =0. Similar se arată că α2 =0, ... , αk =0.
Exercit¸iul 4.2 Să se arate că
{v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, −1, 0), v3 = (0, 0, 1)} ⊂ R 3
este un sistem ortogonal în raport cu produsul scalar uzual
〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 =
3
xj yj.
j=1