You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Grupuri. Reprezentări liniare 173<br />
Demonstrat¸ie. a) Avem<br />
u =<br />
<br />
α11 + iβ11 α12 + iβ12<br />
α21 + iβ21 α22 + iβ22<br />
b) Din <strong>de</strong>finit¸ia lui η rezultă că<br />
<br />
∈ W =⇒ u =<br />
<br />
iβ11<br />
−α12 + iβ12<br />
η(g1 g2)x = h −1 ((g1 g2) h(x) (g1 g2) ∗ ) = h −1 (g1 g2 h(x) g ∗ 2 g∗ 1 )<br />
α12 + iβ12<br />
−iβ11<br />
= h −1 (g1 h(h −1 (g2 h(x) g ∗ 2 ))g∗ 1 ) = η(g1)(η(g2)x) = (η(g1) η(g2))x.<br />
Utilizând baza canonică a lui R 3 obt¸inem relat¸iile<br />
η<br />
⎛<br />
⎛<br />
η ⎝<br />
⎝ eiϕ/2 0<br />
0 e −iϕ/2<br />
⎞<br />
1 1<br />
cos 2θ i sin 2θ i sin 1 1<br />
2θ cos 2θ ⎠ =<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎠ =<br />
din care <strong>de</strong>ducem că <strong>de</strong>t η(g) = 1. Deoarece<br />
cos ϕ − sin ϕ 0<br />
sin ϕ cos ϕ 0<br />
0 0 1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 0<br />
0 cos θ − sin θ<br />
0 sin θ cos θ<br />
(g h(x) g ∗ ) ∗ = g (h(x)) ∗ g ∗ = −g h(x) g ∗ ) ∗ = g<br />
tr(g h(x) g ∗ ) = tr(g g ∗ h(x)) = tr h(x) = 0<br />
||η(g)x|| 2 = <strong>de</strong>t (g h(x) g ∗ ) = <strong>de</strong>t h(x) = ||x|| 2<br />
rezultă că η este un morfism <strong>de</strong> grupuri bine <strong>de</strong>finit. Elementul g ∈ SU(2) apart¸ine<br />
nucleului lui η dacă ¸si numai dacă η(g)x = x oricare ar fi x ∈ R 3 . Din relat¸iile<br />
η(g)(1, 0, 0) = (1, 0, 0), η(g)(0, 1, 0) = (0, 1, 0), η(g)(0, 0, 1) = (0, 0, 1)<br />
se <strong>de</strong>duce că g ∈<br />
<br />
1 0<br />
0 1<br />
<br />
,<br />
<br />
−1 0<br />
0 −1<br />
Observat¸ia 8.10 Prin morfismul η : SU(2) −→ SO(3) fiecare element al lui SO(3)<br />
corespun<strong>de</strong> la două elemente din SU(2) care diferă doar prin semn, η(g) = η(−g).<br />
Orice reprezentare liniară<br />
<br />
T : SU(2) −→ GL(V )<br />
.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
<br />
.
Change language