Elemente de algebra liniara.pdf

98 Elemente de algebră liniară
Din relat¸iile (4.6) ¸si (4.7) rezultă
ceea ce conduce la
aij = 〈Aej, ei〉, a ∗ ij = 〈A ∗ ej, ei〉
a ∗ ij = 〈A ∗ ej, ei〉 = 〈ej, Aei〉 = 〈Aei, ej〉 = āji.
4.5 Operatori autoadjunct¸i
Definit¸ia 4.23 Prin operator autoadjunct (sau hermitian)se înt¸elege un oper-
ator liniar A : V −→ V astfel incât A ∗ = A, adică un operator astfel încât
〈Ax, y〉 = 〈x, Ay〉, ∀x, y ∈ V. (4.8)
Notat¸ie. Vom nota cu A(V ) mult¸imea operatorilor autoadjunct¸i definit¸i pe V , adică
Propozit¸ia 4.24
A(V ) = { A ∈ L(V ) | A ∗ = A }
= { A ∈ L(V ) | 〈Ax, y〉 = 〈x, Ay〉, ∀x, y ∈ V }.
a) A, B ∈ A(V ) =⇒ A + B ∈ A(V )
b)
A ∈ A(V )
α ∈ R
=⇒ αA ∈ A(V )
c) Daca A, B ∈ A(V ) atunci :
AB ∈ A(V ) ⇐⇒ AB = BA
d) Daca operatorul A ∈ A(V ) este inversabil atunci A −1 ∈ A(V ).
Demonstrat¸ie. Vom utiliza propozitia 4.21.
a) Avem (A + B) ∗ = A ∗ + B ∗ = A + B
b) Avem (αA) ∗ = ¯αA ∗ = αA.
c) Dacă AB ∈ A(V ) atunci AB = (AB) ∗ = B ∗ A ∗ = BA.
Dacă AB = BA atunci (AB) ∗ = B ∗ A ∗ = BA = AB ¸si deci AB ∈ A(V ).
d) Avem 〈A −1 x, y〉 = 〈A −1 x, A(A −1 y)〉 = 〈A(A −1 x), A −1 y〉 = 〈x, A −1 y〉.