Elemente de algebra liniara.pdf

44 Elemente de algebră liniară
Demonstrat¸ie. Fie
B0 = {u1, u2, ..., un}
o bază a spat¸iului vectorial W1 ∩ W2 pe care o completăm până la o bază
a spat¸iului vectorial W1 ¸si până la o bază
a spat¸iului vectorial W2, unde
B1 = {u1, u2, ..., un, v1, v2, ..., vk}
B2 = {u1, u2, ..., un, w1, w2, ..., wm}
n = dim (W1 ∩ W2), n + k = dim W1, n + m = dim W2.
Este suficient să arătăm că
este o bază a lui W1 + W2.
B = {u1, u2, ..., un, v1, v2, ..., vk, w1, w2, ..., wm}
B este sistem de generatori. Orice vector de forma x1 + x2 cu x1 ∈ W1 si x2 ∈ W2
este o combinatie liniara de vectorii lui B.
B este sistem de vectori liniar independent¸i. Relat¸ia
α1u1 + ... + αnun + β1v1 + ... + βkvk + γ1w1 + ... + γmwm = 0 (2.6)
se poate scrie sub forma
α1u1 + ... + αnun + β1v1 + ... + βkvk = −γ1w1 − ... − γmwm.
Egalitatea dintre vectorul α1u1 + ... + αnun + β1v1 + ... + βkvk apart¸inând lui W1 si
vectorul −γ1w1 − ... − γmwm apart¸inând lui W2 este posibilă numai dacă −γ1w1 −
... − γmwm ∈ W1 ∩ W2, adică dacă există δ1, δ2, ..., δ1 ∈ K încât
−γ1w1 − γ2w2 − ... − γmwm = δ1u1 + δ2u2 + ... + δnun.
Scriind ultima relat¸ie sub forma
δ1u1 + δ2u2 + ... + δnun + γ1w1 + γ2w2 + ... + γmwm = 0