Elemente de algebra liniara.pdf

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuatii diferent¸iale liniare 131
astfel încât
1) (ϕ(t), ψ(t)) ∈ D, ∀t ∈ (a, b)
2) P (ϕ(t), ψ(t)) ϕ ′ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t)) ψ ′ (t) = 0, ∀t ∈ (a, b).
Observat¸ia 7.2 S¸tim din liceu că dacă
este o funct¸ie continuă atunci funct¸ia
f : (a, b) −→ R
F : (a, b) −→ R, F (x) =
x
x0
f(t) dt
este o primitivă a lui f oricare ar fi x0 ∈ (a, b), adică avem
d x
f(t) dt = f(x), ∀x ∈ (a, b).
dx x0
Teorema 7.3 Fie ecuat¸ia cu variabile separabile
y ′ = f(x) g(y) (7.6)
unde f : I −→ R ¸si g : J −→ R sunt funct¸ii continue definite pe intervalele I ¸si J.
a) Dacă y0 ∈ J este astfel încât g(y0) = 0 atunci funct¸ia constantă
este o solut¸ie a ecuat¸iei (7.6).
ϕ : I −→ R, ϕ(x) = y0
b) Dacă y0 ∈ J este astfel încât g(y0) = 0 atunci relat¸ia
y
y0
1
x
du = f(v) dv + C (7.7)
g(u) x0
unde x0 ∈ I ¸si C este o constantă, define¸ste implicit o solut¸ie locală y = y(x)
a ecuat¸iei (7.6).
Demonstrat¸ie. a) Deoarece ϕ ′ (x) = 0 ¸si g(ϕ(x)) = g(y0) = 0 rezultă că
ϕ ′ (x) = f(x) g(ϕ(x)), ∀x ∈ I.