Elemente de algebra liniara.pdf

More documents

Recommendations

Info

26 Elemente de algebră liniară Propozit¸ia 2.4 Submult¸imea W ⊆ V este subspat¸iu vectorial dacă ¸si numai dacă următoarele condit¸ii sunt îndeplinite: a) b) x ∈ W y ∈ W x ∈ W α ∈ K Demonstrat¸ie. (2.1) ⇒ (2.2): Alegem α = β = 1. (2.1) ⇒ (2.3): Alegem β = 0. (2.2) & (2.3) ⇒ (2.1): x, y ∈ W α, β ∈ K (2.3) =⇒ αx ∈ W βy ∈ W =⇒ x + y ∈ W (2.2) =⇒ αx ∈ W. (2.3) (2.2) =⇒ αx + βy ∈ W. Observat¸ia 2.1 Orice subspat¸iu W ⊆ V are o structura de spat¸iu vectorial, operat¸iile fiind cele induse din V . Exemplul 2.7 W = {x = (x1, x2, x3) ∈ R 3 | x1 + x2 + x3 = 0 } este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului V = R 3 . Verificare. Fie x = (x1, x2, x3) ∈ W , y = (y1, y2, y3) ∈ W ¸si α, β ∈ R. Avem x ∈ W =⇒ x1 + x2 + x3 = 0 y ∈ W =⇒ y1 + y2 + y3 = 0 =⇒ αx1 + βy1 + αx2 + βy2 + αx3 + βy3 = 0 ceea ce arată că αx + βy = (αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3) ∈ W. Exemplul 2.8 W = x = (x1, x2, x3) ∈ R3 x1 + 2x2 − x3 = 0 x1 − x2 + x3 = 0 este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului V = R 3 . Exemplul 2.9 Mult¸imea solut¸iilor unui sistem liniar omogen ⎧ ⎪⎨ W = x = (x1, x2, ..., xn) ∈ R ⎪⎩ n a11x1 + a12x2 + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + a2nxn = 0 ............................ ak1x1 + ak2x2 + aknxn = 0 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului V = R n .
Spat¸ii vectoriale 27 Exemplul 2.10 R ≡ {x = x + 0i | x ∈ R } ⊂ C este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului C considerat ca spat¸iu vectorial real. Exemplul 2.11 W = { f : R −→ R | fderivabila } este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului V = { f : R −→ R | fcontinua }. Exemplul 2.12 Mult¸imea matricelor simetrice W = este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului ⎧ ⎛ ⎪⎨ ⎜ M3×3(R) = A = ⎝ ⎪⎩ A ∈ M3×3(R) | A t = A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 al tuturor matricelor cu trei linii ¸si trei coloane. ⎞ ⎟ ⎠ ⎫ ⎪⎬ aij ∈ R ⎪⎭ 2.3 Subspat¸iul generat de o mult¸ime de vectori Propozit¸ia 2.5 Dacă V este un spat¸iu vectorial peste corpul K ¸si este o submult¸ime a lui V atunci M = {v1, v2, ..., vn} ⊂ V 〈M〉 = { α1v1 + α2v2 + ... + αnvn | α1, α2, ..., αn ∈ K } este un subspat¸iu vectorial al lui V . Demonstrat¸ie. Oricare ar fi λ, µ ∈ K ¸si avem x = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn ∈ 〈M〉, y = β1v1 + β2v2 + ... + βnvn ∈ 〈M〉 λx + µy = (λα1 + µβ1)v1 + (λα2 + µβ2)v2 + (λαn + µβn)vn ∈ 〈M〉.
Page 1: Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ
Page 5 and 6: Cuprins 1 Matrice ¸si determinant
Page 7 and 8: Capitolul 1 Matrice ¸si determinan
Page 9 and 10: Matrice ¸si determinant¸i 11 Demo
Page 11 and 12: Matrice ¸si determinant¸i 13 Obse
Page 13 and 14: Matrice ¸si determinant¸i 15 Defi
Page 15 and 16: Matrice ¸si determinant¸i 17 Prop
Page 17 and 18: Matrice ¸si determinant¸i 19 (dez
Page 19 and 20: Matrice ¸si determinant¸i 21 Teor
Page 21 and 22: Capitolul 2 Spat¸ii vectoriale 2.1
Page 23: Spat¸ii vectoriale 25 are o struct
Page 27 and 28: Spat¸ii vectoriale 29 Exercit¸iul
Page 29 and 30: Spat¸ii vectoriale 31 Exercit¸iul
Page 31 and 32: Spat¸ii vectoriale 33 adică ceea
Page 33 and 34: Spat¸ii vectoriale 35 Teorema 2.17
Page 35 and 36: Spat¸ii vectoriale 37 ¸si înmult
Page 37 and 38: Spat¸ii vectoriale 39 Dezvoltând
Page 39 and 40: Spat¸ii vectoriale 41 acestea. Ace
Page 41 and 42: Spat¸ii vectoriale 43 Demonstrat¸
Page 43 and 44: Spat¸ii vectoriale 45 ¸si t¸inâ
Page 45 and 46: Spat¸ii vectoriale 47 cu (x, x)
Page 47 and 48: Spat¸ii vectoriale 49 Demonstrat¸
Page 49 and 50: Capitolul 3 Aplicat¸ii liniare 3.1
Page 51 and 52: Aplicat¸ii liniare 53 Expresia în
Page 53 and 54: Aplicat¸ii liniare 55 rezultă A(
Page 55 and 56: Aplicat¸ii liniare 57 conduce la r
Page 57 and 58: Aplicat¸ii liniare 59 ¸si înmult
Page 59 and 60: Aplicat¸ii liniare 61 Alegând x =
Page 61 and 62: Aplicat¸ii liniare 63 Teorema 3.14
Page 63 and 64: Aplicat¸ii liniare 65 Propozit¸ia
Page 65 and 66: Aplicat¸ii liniare 67 Exercit¸iul
Page 67 and 68: Aplicat¸ii liniare 69 Aplicat¸ia
Page 69 and 70: Aplicat¸ii liniare 71 numită matr
Page 71 and 72: Aplicat¸ii liniare 73 ¸si A ′
Page 73 and 74: Aplicat¸ii liniare 75 relat¸ie ca
Page 75 and 76:
Aplicat¸ii liniare 77 Definit¸ia
Page 77 and 78:
Aplicat¸ii liniare 79 a lui R 3 fo
Page 79 and 80:
Aplicat¸ii liniare 81 Observat¸ia
Page 81:
Aplicat¸ii liniare 83 Este suficie
Page 84 and 85:
86 Elemente de algebră liniară c)
Page 86 and 87:
88 Elemente de algebră liniară de
Page 88 and 89:
90 Elemente de algebră liniară Re
Page 90 and 91:
92 Elemente de algebră liniară De
Page 92 and 93:
94 Elemente de algebră liniară Re
Page 94 and 95:
96 Elemente de algebră liniară De
Page 96 and 97:
98 Elemente de algebră liniară Di
Page 98 and 99:
100 Elemente de algebră liniară b
Page 100 and 101:
102 Elemente de algebră liniară f
Page 102 and 103:
104 Elemente de algebră liniară D
Page 104 and 105:
106 Elemente de algebră liniară T
Page 106 and 107:
108 Elemente de algebră liniară S
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
112 Elemente de algebră liniară u
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
116 Elemente de algebră liniară d
Page 116 and 117:
118 Elemente de algebră liniară m
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
122 Elemente de algebră liniară r
Page 122 and 123:
124 Elemente de algebră liniară u
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
128 Elemente de algebră liniară a
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
Page 136 and 137:
138 Elemente de algebră liniară P
Page 138 and 139:
Page 140 and 141:
Page 142 and 143:
Page 144 and 145:
146 Elemente de algebră liniară I
Page 146 and 147:
Page 148 and 149:
Page 150 and 151:
152 Elemente de algebră liniară e
Page 152 and 153:
154 Elemente de algebră liniară S
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
158
Page 158 and 159:
Page 160 and 161:
Page 162 and 163:
Page 164 and 165:
Page 166 and 167:
168 Elemente de algebră liniară 8
Page 168 and 169:
Page 170 and 171:
172 Elemente de algebră liniară p
Page 172 and 173:
174 Elemente de algebră liniară c
Page 174 and 175:
176
Page 176 and 177:
Page 178 and 179:
Page 180 and 181:
Page 182 and 183:
184 Elemente de algebră liniară e
Page 184 and 185:
186 Elemente de algebră liniară c
Page 186 and 187:
Page 188 and 189:
190 Elemente de algebră liniară v
Page 190 and 191:
192 Elemente de algebră liniară L
Page 192 and 193:
Page 194 and 195:
Page 196 and 197:
198 Elemente de algebră liniară o
Page 198 and 199:
200 Elemente de algebră liniară A
Page 200:
202 Elemente de algebră liniară [
show all

Elemente de algebra liniara.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?