Elemente de algebra liniara.pdf

64 Elemente de algebră liniară
Observat¸ia 3.4 Vectorii x ∈ V sunt obiecte matematice care în raport cu fiecare
bază B a lui V sunt descrise prin coordonatele x 1 , x 2 , ..., x n ¸si care la o schimbare
de bază e ′ i
= αj
i ej se schimbă după formula
x ′i = β i j x j .
Similar, elementele ϕ ∈ V ∗ (numite forme liniare sau 1-forme) sunt obiecte
matematice care in raport cu fiecare bază B ∗ sunt descrise prin coordonatele ϕ1, ϕ2, ..., ϕn
¸si care la o schimbare de bază e ′ i
= αj
i ej se schimbă după formula
ϕ ′ i = α j
i ϕj.
Definit¸ia 3.15 Prin tensor de tip (p, q) (adică, tensor de p ori contravariant ¸si
de q ori covariant) se înt¸elege un obiect matematic T descris în raport cu fiecare
bază B a lui V prin coordonatele T i1i2...ip
j1j2...jq ¸si care la o schimbare de bază e′ i = αj i ej
se schimbă după formula
T ′i1i2...ip
= βi1
j1j2...jq k1 βi2
k2
· · · βip
kp αm1
j1 αm2 · · · α j2 mq k1k2...kp T jq m1m2...mq .
Observat¸ia 3.5 Elementele spat¸iului vectorial V sunt tensori de tip (1, 0), iar ele-
mentele lui V ∗ sunt tensori de tip (0, 1).
Observat¸ia 3.6 Un tensor de tip (1, 1) este descris prin coordonatele T i j
schimbarea bazei se schimbă după formula
T ′i
j = β i k α m j T k m.
În cazul unui tensor de două ori contravariant formula devine
T ′ij = β i k β j m T km
iar in cazul unui tensor de două ori covariant
T ′
ij = α k i α m j Tkm.
care la
Observat¸ia 3.7 Un tensor este complet determinat dacă i se cunosc coordonatele
într-o bază fixată.