Elemente de algebra liniara.pdf

138 Elemente de algebră liniară
Propozit¸ia 7.13 Funct¸iile
y1, y2, ... , yn : I −→ R
din V sunt liniar independente dacă ¸si numai dacă într-un punct fixat x0 ∈ I avem
Demonstrat¸ie. Deoarece
y1(x0)
y
y2(x0) · · · yn(x0)
′ 1 (x0) y ′ 2 (x0) · · · y ′ · · · · · · · · ·
n(x0)
· · ·
y (n−1)
1 (x0) y (n−1)
2 (x0) · · · y (n−1)
n
(x0)
A : V −→ R n , Aϕ = (ϕ(x0), ϕ ′ (x0), ..., ϕ (n−1) (x0))
= 0. (7.12)
este un izomorfism liniar funct¸iile y1, y2, ... , yn : I −→ R sunt liniar independente
dacă ¸si numai dacă vectorii corespunzători
Ay1 = ( y1(x0), y ′ 1 (x0), ... , y (n−1)
1 (x0) )
Ay2 = ( y2(x0), y ′ 2 (x0), ... , y (n−1)
2 (x0) )
.......................................................
Ayn = ( yn(x0), y ′ n(x0), ... , y (n−1)
n (x0) )
sunt liniar independent¸i, ceea ce este echivalent cu (7.12).
Teorema 7.14 (Abel-Liouville) Dacă
sunt n solut¸ii ale ecuat¸iei
atunci funct¸ia (numită wronskian)
W : I −→ R W (x) =
y1, y2, ... , yn : I −→ R
Ly = 0
y1(x)
y
y2(x) · · · yn(x)
′ 1 (x) y′ 2 (x) · · · y′ · · · · · · · · ·
n(x)
· · ·
y (n−1)
1 (x) y (n−1)
2 (x) · · · y (n−1)
n
(x)