Elemente de algebra liniara.pdf

132 Elemente de algebră liniară
b) Derivând relat¸ia (7.7) în raport cu x considerând y = y(x) rezultă
adică
1
g(y(x)) y′ (x) = f(x)
y ′ (x) = f(x) g(y(x)).
Observat¸ia 7.3 Ecuat¸ia (7.6) poate fi scrisă sub forma
sau forma simetrică
dy
= f(x) g(y)
dx
f(x) g(y) dx − dy = 0.
Forma diferent¸ială f(x) g(y) dx−dy nu este diferent¸iala totală a unei funct¸ii. Inmult¸ind
ecuat¸ia anterioară cu factorul integrant 1
g(y)
se obt¸ine ecuat¸ia
al cărei membru stâng este o diferent¸ială totală deoarece
Ecuat¸ia (7.8) se poate scrie sub forma
unde
f(x) dx − 1
dy = 0 (7.8)
g(y)
∂ ∂
(f(x)) = −
∂y ∂x
1
.
g(y)
F (x, y) =
x
Rezultă că relat¸ia F (x, y) = C, adică
x
x0
x0
dF = 0
y 1
f(t)dt −
y0 g(t) dt.
y 1
f(u)du − dv = C
y0 g(v)
define¸ste implicit o solut¸ie a ecuat¸iei (7.6) dacă alegem y0 astfel încât g(y0) = 0.