Elemente de algebra liniara.pdf

168 Elemente de algebră liniară
8.5 Grupul rotat¸iilor. Reprezentări liniare
Propozit¸ia 8.22
Demonstrat¸ie. Avem
¸si
SO(2) =
cos t − sin t
sin t cos t
α β
γ δ
−1
=
cos t − sin t
sin t cos t
cos t sin t
− sin t cos t
∈ SO(2) =⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
,
t ∈ [0, 2π)
cos t − sin t
sin t cos t
α 2 + γ 2 = 1
β 2 + δ 2 = 1
αβ + γδ = 0
αδ − βγ = 1.
.
= 1
Din relat¸iile α 2 + γ 2 = 1 ¸si β 2 + δ 2 = 1 rezultă că există t, s ∈ [0, 2π) încât
dar
αβ + γδ = 0
αδ − βγ = 1.
=⇒
α β
γ δ
=
cos t sin s
sin t cos s
sin(t + s) = 0
cos(t + s) = 1.
=⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
s = −t
sau
s = 2π − t.
Exercit¸iul 8.9 Dacă A ∈ SO(3) atunci există t ∈ [0, 2π) ¸si o matrice S ∈ O(3)
astfel încât
Rezolvare. Fie
S −1 AS =
A =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1 0 0
0 cos t − sin t
0 sin t cos t
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⎞
⎞
⎟
⎠ .
⎟
⎠ ∈ SO(3).