Elemente de algebra liniara.pdf

66 Elemente de algebră liniară
Observat¸ia 3.8 Generalizarea definit¸iei produsului tensorial la tensori de orice tip
este imediată. Produsul tensorial x ⊗ ϕ dintre un vector x ∈ V si o 1-formă ϕ ∈ V ∗
are coordonatele
(x ⊗ ϕ) i j = x i ϕj
iar produsul tensorial x ⊗ y a doi vectori coordonatele
(x ⊗ y) ij = x i y j .
Propozit¸ia 3.19 ( Contract¸ia unui tensor, într-un caz particular). Fie A ij
klm coordonatele
unui tensor A de tip (2, 3). Numerele
T j
km =
n
i=1
A ij
kim
sunt coordonatele unui tensor de tip (1, 2) obt¸inut prin contract¸ia lui A în raport cu
primul indice de contravariant¸ă ¸si al doilea indice de covariant¸ă.
Demonstrat¸ie. Avem
T ′j
km = n i=1 A ′ij
kim
= n i=1 β i aβ j
= β j
b αc k αr m
bαc kαd i αr mAab
δd aAab
cdr = β j
bαc kαr m
β j
cdr =
ni=1 βi aαd i
na=1 Aab car
bαc kαr mAab
cdr = δd aβ j
= β j
b αc k αr mT b cr.
bαc kαr mAab cdr
Observat¸ia 3.9 Operat¸ia de contract¸ie se poate face în raport cu orice pereche de
indici formată dintr-un indice de contravariant¸ă (superior) ¸si un indice de covariant¸ă
(inferior).
Exercit¸iul 3.12 Să se arate că dacă x ∈ V ¸si ϕ ∈ V ∗ atunci numărul
este un tensor de tip (0, 0), numit scalar.
γ = x i ϕi
Rezolvare. Numărul γ se obt¸ine prin contract¸ie din x ⊗ ϕ ¸si nu depinde de baza
aleasă
γ ′ n
= x
i=1
′i ϕ ′ n
i = β
i=1
i jα k i x j ϕk = δ k j x j ϕk = x j ϕj = γ.