Elemente de algebra liniara.pdf

Capitolul 4
Spat¸ii vectoriale euclidiene
4.1 Definit¸ie ¸si exemple
Definit¸ia 4.1 Fie V un spat¸iu vectorial real (adică K = R). Prin produs scalar
pe V se int¸elege o aplicat¸ie
astfel incât
〈, 〉 : V × V −→ R
a) 〈αx + βy, z〉 = α〈x, z〉 + β〈y, z〉, ∀x, y ∈ V ¸si ∀α, β ∈ R
b) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ V
c) 〈x, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ V ¸si
〈x, x〉 = 0 dacă ¸si numai dacă x = 0.
Un spat¸iu vectorial real considerat împreună cu un produs scalar fixat este numit
spat¸iu vectorial euclidian real.
Definit¸ia 4.2 Fie V un spat¸iu vectorial complex (adică K = C). Prin produs
scalar pe V se int¸elege o aplicat¸ie
astfel incât
〈, 〉 : V × V −→ C
a) 〈αx + βy, z〉 = α〈x, z〉 + β〈y, z〉, ∀x, y ∈ V ¸si ∀α, β ∈ C
b) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ V
85