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Algebre Lie. Reprezentări liniare 179<br />
Definit¸ia 9.4 Prin bază a algebrei Lie L se înt¸elege o bază {v1, v2, ... , vn} a<br />
spat¸iului L privit ca spat¸iu vectorial. Coeficient¸ii c k ij<br />
n<br />
[vi, vj] = c<br />
k=1<br />
k ij vk<br />
∈ K din relat¸iile<br />
se numesc constantele <strong>de</strong> structură ale algebrei L referitoare la baza aleasă.<br />
Observat¸ia 9.2 Notând<br />
⎛<br />
e i ⎜<br />
j = ⎜<br />
⎝<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0<br />
0 · · · 0 1 0 · · · 0<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0<br />
(singurul element nenul este la intersect¸a dintre coloana i ¸si linia j), orice matrice<br />
admite reprezentarea<br />
In cazul n = 2<br />
a 1 1 a 1 2<br />
a 2 1 a2 2<br />
<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
a1 1 a1 2 · · · a1 a<br />
n<br />
2 1 a2 2 · · · a2 · · · · · · · · ·<br />
n<br />
· · ·<br />
an 1 an 2 · · · an ⎞<br />
⎟ n<br />
⎟ = a<br />
⎟<br />
⎠ i,j=1<br />
n<br />
j<br />
i eij = a j<br />
i eij. = a 1 1<br />
1 0<br />
0 0<br />
<br />
+ a 1 2<br />
0 1<br />
0 0<br />
<br />
= a 1 1 e1 1 + a1 2 e2 1 + a2 1 e1 2 + a2 2 e2 2 .<br />
+ a 2 1<br />
0 0<br />
1 0<br />
<br />
+ a 2 2<br />
Propozit¸ia 9.5 Algebra Lie gl(n, K), <strong>de</strong> dimensiune n 2 , admite baza<br />
{ e i j | i, j ∈{1, 2, ..., n} } cu [e i j, e k m] = δ i m e k j − δ k j e i m.<br />
Demonstrat¸ie. Avem e i j ek m = δ i m e k j .<br />
0 0<br />
0 1
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