Elemente de algebra liniara.pdf

48 Elemente de algebră liniară
ale lui V ⊕ W ¸si avem
ceea ce justifică notat¸ia V ⊕ W .
2.8 Spat¸ii factor
{ (x, 0) | x ∈ V } ∩ { (0, y) | y ∈ W } = {(0, 0)}
{ (x, 0) | x ∈ V } + { (0, y) | y ∈ W } = V ⊕ W
Definit¸ia 2.33 Prin relat¸ie de echivalent¸ă pe o mult¸ime M se înt¸elege o submult¸ime
R ⊆ M × M cu proprietăt¸ile:
1) (x, x) ∈ R, ∀x ∈ M (reflexivitate)
2)
3)
(x, y) ∈ R =⇒ (y, x) ∈ R
(x, y) ∈ R
=⇒ (x, z) ∈ R
(y, z) ∈ R
(simetrie)
(tranzitivitate)
In loc de (x, y) ∈ R se preferă să se scrie x R y sau x ∼ y.
Definit¸ia 2.34 Prin partit¸ie a unei mult¸imi M se înt¸elege o familie {Mi}i∈I de
submult¸imi ale lui M cu proprietăt¸ile:
1) Mi = ∅, ∀i ∈ I
2) Mi ∩ Mj = ∅, ∀i, j ∈ I cu i = j
3)
i∈I Mi = M.
Propozit¸ia 2.35 a) Dacă ∼ este o relat¸ie de echivalent¸ă pe M atunci mult¸imile
distincte de forma
ˆx = { y | y ∼ x } (clasa de echivalenta a lui x)
formează o partit¸ie a lui M (se notează cu M/∼ ¸si este numită mult¸imea factor
corespunzătoare relat¸iei ∼).
b) Invers, dacă {Mi}i∈I este o partit¸ie a lui M atunci relat¸ia ∼ definită prin
x ∼ y daca exista i ∈ I astfel incat x, y ∈ Mi
este o relat¸ie de echivalent¸ă pe M.