Elemente de algebra liniara.pdf

Spat¸ii vectoriale 49
Demonstrat¸ie. a) Reunind toate clasele de echivalent¸ă obt¸inem mult¸imea M ¸si ˆx = ∅
deoarece x ∈ ˆx. In plus,
x ∈ ˆy ∩ ˆz =⇒
x ∼ y
x ∼ z
=⇒ y ∼ z =⇒ ˆy = ˆz.
b) Evident, relat¸ia ∼ este reflexivă ¸si simetrică. Dacă x ∼ y ¸si y ∼ z atunci există
i, j ∈ I astfel încât x, y ∈ Mi ¸si y, z ∈ Mj. Mult¸imile partit¸iei fiind disjuncte rezultă
că Mi = Mj ¸si prin urmare x ∼ z.
Propozit¸ia 2.36 Dacă V este un spat¸iu vectorial peste corpul K ¸si W ⊆ V este un
subspat¸iu vectorial atunci relat¸ia
x ∼ y daca x − y ∈ W
este o relat¸ie de echivalent¸ă pe V . Pe mult¸imea factor V/∼ formată din toate clasele
de echivalent¸ă
relat¸iile
ˆx = x + W = { x + y | y ∈ W }
ˆx + ˆy = xy, αˆx = αx
definesc o structură de spat¸iu vectorial (numit spat¸iu factor ¸si notat cu V/W ).
Demonstrat¸ie. Avem
x − x = 0 ∈ W =⇒ x ∼ x
x ∼ y =⇒ x − y ∈ W =⇒ y − x ∈ W =⇒ y ∼ x
x ∼ y
=⇒
y ∼ z
x − y ∈ W
y − z ∈ W
=⇒ x − z = (x − y) + (y − z) ∈ W =⇒ x ∼ z.
Deoarece W + W = { x + y | x, y ∈ W } = W ¸si αW = { αx | x ∈ W } = W avem
(x + W ) + (y + W ) = x + y + W, α(x + W ) = αx + W
ceea ce arata că operat¸iile cu clase de echivalent¸a sunt bine definite (nu depind de
reprezentantul ales). Elementul neutru este ˆ0 = 0 + W = W iar opusul lui ˆx este
−ˆx = −x = −x + W.