Elemente de algebra liniara.pdf

Aplicat¸ii liniare 69
Aplicat¸ia g astfel definită nu depinde de alegerea bazei B utilizate deoarece alegând
altă bază B ′ obt¸inem
g(ϕ ′ k e′k , x ′m e ′ m) = T ′k m ϕ ′ k x′m = β k a α b m T a b αi k ϕi β m j xj
= δ i a δ b j T a b ϕi x j = T i j ϕi x j .
Observat¸ia 3.10 Rezultatele prezentate mai sus pot fi generalizate în mod natural.
Orice aplicat¸ie (p + q)-liniară
T : V ∗ × V ∗ × · · · × V ∗
p ori
× V × V × · · · × V −→ K
q ori
este un tensor de tip (p, q) ale cărui coordonate într-o bază B = {e1, e2, ..., en} cu
duala B ∗ = {e 1 , e 2 , ..., e n } sunt
T i1i2...ip
j1j2...jq = T (ei1 i2 ip , e , ..., e , ej1 , ej2 , ..., ejq)
¸si fiecărui tensor de tip (p, q) îi corespunde în mod natural o astfel de aplicat¸ie
(p + q)-liniară.
Observat¸ia 3.11 Plecând de la dualul V ∗ al lui V se poate defini dualul dualului
lui V
V ∗∗ = (V ∗ ) ∗
numit bidualul lui V . Se poate arăta că V ∗∗ se poate identifica în mod natural cu
V asociind lui x ∈ V aplicat¸ia liniară
apart¸inând bidualului lui V .
V ∗ −→ K : ϕ ↦→ ϕ(x)
Observat¸ia 3.12 Dacă ϕ : V −→ K ¸si ψ : W −→ K sunt aplicat¸ii liniare atunci
g : V × W −→ K, g(v, w) = ϕ(v) · ψ(w)
este o aplicat¸ie biliniară numită produsul tensorial al lui ϕ cu ψ ¸si notată cu ϕ ⊗ ψ.