Elemente de algebra liniara.pdf

140 Elemente de algebră liniară
Teorema 7.16 (Metoda variat¸iei constantelor.) Dacă
y(x) =
este solut¸ia generală a ecuat¸iei omogene
n
ck yk(x)
k=1
Ly = 0
atunci o solut¸ie particulară a ecuat¸iei neomogene
poate fi găsită căutând-o de forma
˜y(x) =
Ly = f
n
ck(x) yk(x)
k=1
cu c1(x), c2(x), ... , cn(x) solut¸ie a sistemului
⎧
⎪⎨
⎪⎩
nk=1 c ′ k (x) yk(x) = 0
nk=1 c ′ k (x) y′ k (x) = 0
..........................................
nk=1 c ′ k
nk=1 c ′ k
(x) y(n−2)
k (x) = 0
(x) y(n−1)
k (x) = f(x)
a0(x) .
Demonstrat¸ie. T¸ inând sema de (7.14) obt¸inem relat¸iile
˜y(x) = n k=1 ck(x) yk(x)
˜y ′ (x) = n k=1 ck(x) y ′ k (x)
............................................
˜y (n−1) (x) = n k=1 ck(x) y (n−1)
k (x)
˜y (n) (x) = n k=1 ck(x) y (n) f(x)
k (x) + a0(x) .
(7.14)