Elemente de algebra liniara.pdf

162 Elemente de algebră liniară
rezultă că
tij(g1g2) =
n
tik(g1) tkj(g2), ∀i, j ∈ {1, 2, ..., n}
k=1
adică T (g1g2) = T (g1) T (g2).
Observat¸ia 8.2 Matricea T (g) este matricea transformării liniare T (g) : V −→ V
în raport cu baza considerată. Alegând o altă bază {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n} se poate defini în
mod similar reprezentarea
T ′ : G −→ GL(n, K) : g ↦→ T ′ (g).
S¸tim însă că cele două reprezentări matriceale sunt legate prin relat¸ia
T ′ (g) = S −1 T (g) S, ∀g ∈ G
unde S este matricea de trecere de la baza {e1, e2, ..., en} la {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n}.
Definit¸ia 8.7 Două reprezentări matriceale n-dimensionale peste K ale unui grup
T1 : G −→ GL(n, K) si T2 : G −→ GL(n, K)
sunt numite echivalente dacă există S ∈ GL(n, K) astfel încât
T2(g) = S −1 T1(g) S, ∀g ∈ G.
Exercit¸iul 8.3 Aplicat¸ia R : R −→ GL(R 2 ) : t ↦→ R(t) unde
R(t) : R 2 −→ R 2 , R(t)(x, y) = (x cos t − y sin t, x sin t + y cos t)
este o reprezentare liniară a grupului aditiv (R, +) în spat¸iul vectorial R 2 .
Alegând în R 2 baza {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} obt¸inem reprezentarea matriceală
R : R −→ GL(2, R) : t ↦→ R(t) =
Rezolvare. Avem R(t + s) = R(t) R(s).
cos t − sin t
sin t cos t
.