Elemente de algebra liniara.pdf

Spat¸ii vectoriale 43
Demonstrat¸ie. Avem
x, y ∈ W
α, β ∈ K
=⇒
x, y ∈ W1
x, y ∈ W2
α, β ∈ K
⎫
⎪⎬
⎪⎭
=⇒ αx + βy ∈ W1
αx + βy ∈ W2
=⇒ αx + βy ∈ W.
Observat¸ia 2.10 In general, reuniunea a două subspat¸ii vectoriale ale unui spat¸iu
vectorial V nu este un subspat¸iu vectorial. De exemplu,
W1 = {(x, 0) | x ∈ R} si W2 = {(0, y) | y ∈ R}
sunt subspat¸ii vectoriale ale lui R 2 , dar W = W1 ∪ W2 nu este subspat¸iu vectorial al
lui R 2 . Intr-adevăr, (1, 0) ∈ W ¸si (0, 1) ∈ W dar (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ∈ W .
Propozit¸ia 2.27 Dacă W1 ⊆ V ¸si W2 ⊆ V sunt subspat¸ii vectoriale atunci
este subspat¸iu vectorial al lui V .
Demonstrat¸ie. Avem
w1 + w2 ∈ W1 + W2
w ′ 1 + w′ 2 ∈ W1 + W2
α, β ∈ K
W1 + W2 = {w1 + w2 | w1 ∈ W1, w2 ∈ W2}
⎫
⎪⎬
⎪⎭ =⇒
⎧
⎨
⎩
α(w1 + w2) + β(w ′ 1 + w′ 2 )
= (αw1 + βw ′ 1 ) + (αw2 + βw ′ 2 ) ∈ W1 + W2.
Definit¸ia 2.28 Fie W1, W2 două subspat¸ii vectoriale ale lui V . Subspat¸iul vectorial
W1 + W2 = {w1 + w2 | w1 ∈ W1, w2 ∈ W2}
se nume¸ste suma subspat¸iilor W1 ¸si W2.
Exercit¸iul 2.21 Să se arate că:
a) W1 = {(x, 0) | x ∈ R} este subspat¸iu vectorial al lui R 2 .
b) W1 = {(0, y) | y ∈ R} este subspat¸iu vectorial al lui R 2 .
c) W1 + W2 = R 2 .
Teorema 2.29 (a dimensiunii) Dacă W1 ¸si W2 sunt subspat¸ii ale lui V atunci
dim (W1 + W2) = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩ W2).