Elemente de algebra liniara.pdf

Grupuri. Reprezentări liniare 171
Rezolvare. Avem
(T (g1g2)f)(x) = f((g1g2) −1 x) = f(g −1
2 g−1
1 x)
= f(g −1
2 (g−1 1
−1
x)) = (T (g2)f)(g1 x)
= (T (g1)(T (g2)f))(x) = (T (g1)T (g2)f)(x).
Exercit¸iul 8.12 Mult¸imea de matrice
O(1, 3) = A ∈ GL(4, R) | A I1,3 t
A = I1,3
unde
⎛
⎜
I1,3 = ⎜
⎝
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
considerată împreună cu înmult¸irea este grup (se nume¸ste grupul Lorentz).
Exercit¸iul 8.13
Rezolvare. Avem
α β
γ δ
SU(2)=
∈SU(2) =⇒
α β
− ¯ β ¯α
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎞
⎟
⎠
α, β ∈ C, |α| 2 + |β| 2 = 1
¯α γ + ¯ β δ = 0
−βγ + αδ = 1
|α| 2 + |β| 2 = 1
=⇒
Observat¸ia 8.8 Grupul SU(2) admite parametrizarea
⎧ ⎛
⎪⎨
SU(2) = ⎝
⎪⎩
ei(ϕ+ψ)/2 cos 1
2θ i ei(ϕ−ψ)/2 sin 1
2θ ⎞
⎠
cu proprietatea
⎛
i e −i(ϕ−ψ)/2 sin 1
2 θ e−i(ϕ+ψ)/2 cos 1
2 θ
⎝ ei(ϕ+ψ)/2 cos 1
2θ i ei(ϕ−ψ)/2 sin 1
2θ i e−i(ϕ−ψ)/2 sin 1
2θ e−i(ϕ+ψ)/2 cos 1
2θ =
⎛
⎝ eiϕ/2 0
0 e −iϕ/2
⎞ ⎛
⎠ ⎝
⎞
⎠
1 1
cos 2θ i sin 2θ i sin 1 1
2θ cos 2θ ⎧
⎪⎨
⎪⎩
γ = − ¯ β
δ = ¯α
|α| 2 + |β| 2 = 1.
0 ≤ ϕ < 2π
0 ≤ θ ≤ π
−2π ≤ ψ ≤ 2π
⎞ ⎛
⎠ ⎝ eiψ/2 0
0 e−iψ/2 ⎞
⎠
⎫
⎪⎬
⎪⎭