Elemente de algebra liniara.pdf

Aplicat¸ii liniare 53
Expresia în coordonate a rotat¸iei de unghi α este
unde (a se vedea figura)
adică
Rα : R 2 −→ R 2 : (x, y) ↦→ (x ′ , y ′ )
x ′ = r cos(β + α) = r cos β cos α − r sin β sin α = x cos α − y sin α
x ′ = r sin(β + α) = r cos β sin α + r sin β cos α = x sin α + y cos α
Exercit¸iul 3.5 Fie
Rα(x, y) = (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α).
V = { a0x 2 + a1x + a2 | a0, a1, a2 ∈ R }
spat¸iul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 2. Să se arate că operatorul de
derivare
d
: V −→ V,
dx
este un operator liniar.
d
dx (a0x 2 + a1x + a2) = 2a0x + a1
Exercit¸iul 3.6 Aplicat¸ia rezultată în urma compunerii a două aplicat¸ii liniare este
o aplicat¸ie liniară.
3.2 Imaginea ¸si nucleul unei aplicat¸ii liniare
Propozit¸ia 3.2 Dacă A : V −→ W este o aplicat¸ie liniară atunci
este subspat¸iu vectorial al lui V , iar
este subspat¸iu vectorial al lui W .
Ker A = { x ∈ V | Ax = 0 }
Im A = { Ax | x ∈ V }