Elemente de algebra liniara.pdf

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuatii diferent¸iale liniare 145
Exercit¸iul 7.1 Să se determine solut¸ia generală a ecuat¸iilor
Răspuns.
a) y(x) = c1 e 2x + c2 e 3x
a) y ′′ − 5y ′ + 6y = 0
b) y ′′′ − 6y ′′ + 12y ′ − 8y = 0
c) y ′′ + y ′ + y = 0
d) (D 2 − D + 1) 3 y = 0
e) (D − 3) 4 (D 2 + 2) 2 y = 0.
b) y(x) = c1 e 2x + c2 x e 2x + c3 x 2 e 2x
1
− c) y(x) = c1 e 2 x √
3 cos(
2 x) + c2 e
− 1
2 x sin(
d) y(x) = c1 e 1
2 x √
3 cos( 2 x) + c2 e 1
2 x √
3 sin(
1
− +c3 x e 2 x √
1
3
− cos(
2 x) + c4 x e
√ 3
2 x)
2 x)
2 x sin(
√ 3
2 x)
+c5 x2 1
− e 2 x √
3 cos( 2 x) + c6 x2 1
− e 2 x √
3 sin( 2 x)
e) y(x) = c1 e 3x + c2 x e 3x + c3 x 2 e 3x + c4 x 3 e 3x
+c5 cos( √ 2x) + c6 sin( √ 2x) + c7 x cos( √ 2x) + c8 x sin( √ 2x).
Propozit¸ia 7.23 Ecuat¸ia Euler
a0 x n y (n) + a1 x n−1 y (n−1) + · · · + an−1 x y ′ + an y = 0
se reduce la o ecuat¸ie diferent¸ială liniară cu coeficient¸i constant¸i prin schimbarea de
variabilă x = e t , unde t este noua variabilă independentă.
Demonstrat¸ie (cazul n = 3). Notând cu z(t) noua funct¸ie necunoscută avem relat¸ia
care prin derivări succesive conduce la
y ′ (x) = 1
x z′ (ln x) = e −t z ′ (t)
y(x) = z(ln x)
y ′′ (x) = 1
x 2 z ′′ (ln x) − 1
x 2 z ′ (ln x) = e −2t ( z ′′ (t) − z ′ (t) )
y ′′′ (x) = 1
x 3 z ′′′ (ln x) − 3
x 3 z ′′ (ln x) − 2
x 3 z ′ (ln x) = e −3t ( z ′′′ (t) − 3z ′′ (t) + 2z ′ (t) )