Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
164 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 8.11 Dacă<br />
T1 : G −→ GL(V1) si T2 : G −→ GL(V2)<br />
sunt două reprezentări K-liniare atunci aplicat¸ia<br />
T : G −→ GL(V1 ⊕ V2), T (g)(x1, x2) = (T1(g)x1, T2(g)x2)<br />
este o reprezentare K-liniară a grupului G în spat¸iul produs direct V1 ⊕ V2, numită<br />
suma reprezentărilor T1 ¸si T2, notată cu T1 ⊕ T2.<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
T (g1g2)(x1, x2) = (T1(g1g2)x1, T2(g1g2)x2)<br />
Propozit¸ia 8.12 Dacă<br />
= (T1(g1) T1(g2)x1, T2(g1) T2(g2)x2)<br />
= T (g1)(T1(g2)x1, T2(g2)x2) = T (g1)T (g2)(x1, x2).<br />
T : G −→ GL(n, K) : g ↦→ T (g) =<br />
R : G −→ GL(k, K) : g ↦→ R(g) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
t11(g) · · · t1n(g)<br />
· · · · · · · · ·<br />
tn1(g) · · · tnn(g)<br />
r11(g) · · · r1k(g)<br />
· · · · · · · · ·<br />
rk1(g) · · · rkk(g)<br />
sunt două reprezentări matriceale atunci<br />
⎛<br />
t11(g)<br />
⎜ · · ·<br />
⎜ tn1(g)<br />
T ⊕ R : G −→ GL(n+k, K) : g ↦→ ⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
t1n(g)<br />
· · ·<br />
tnn(g)<br />
0<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
r11(g)<br />
· · ·<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
r1k(g)<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 rk1(g) · · · rkk(g)<br />
este o reprezentare matriceală a lui G, numită suma reprezentărilor T ¸si R.
Change language