Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
120 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. Fie B = {e1, e2, ..., en}. Relat¸ia<br />
n<br />
A : V −→ V, Aei = gji ej<br />
j=1<br />
<strong>de</strong>fine¸ste un operator autoadjunct a cărui matrice în raport cu baza B coinci<strong>de</strong> cu<br />
matricea G a lui Q în raport cu aceea¸si bază. Deoarece A este diagonalizabil există o<br />
bază ortonormată B ′ = {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n} formată din vectori proprii ai lui A în raport<br />
cu care matricea lui A este<br />
⎛<br />
A ′ ⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
λ1 0 · · · 0<br />
0 λ2 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 · · · λn<br />
Notând cu S matricea <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la B la B ′ avem<br />
A ′ = S −1 GS.<br />
Pe <strong>de</strong> altă parte ¸stim că matricea G ′ a formei pătratice Q în raport cu baza B ′ este<br />
G ′ = t SGS.<br />
Deoarece matricea <strong>de</strong> trecere între două baze ortonormate este o matrice ortogonală<br />
avem S −1 = t S ¸si<br />
⎛<br />
G ′ = t SGS = S −1 GS = A ′ ⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
λ1 0 · · · 0<br />
0 λ2 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 · · · λn<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .
Change language