Elemente de algebra liniara.pdf

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuatii diferent¸iale liniare 143
Demonstrat¸ie. Arătăm mai întâi prin induct¸ie că
Avem
D k (e rx ϕ) = e rx (D + r) k ϕ.
D (e rx ϕ) = e rx Dϕ + re rx ϕ = e rx (D + r)ϕ.
Presupunând că D k (e rx ϕ) = e rx (D + r) k ϕ obt¸inem
D k+1 (e rx ϕ) = D(e rx (D + r) k ϕ) = e rx (D + r)(D + r) k ϕ = e rx (D + r) k+1 ϕ.
Dacă Q(r) = α0 r m + α1 r m−1 + · · · + αm−1r + αm atunci
Q(D) (e rx ϕ) =α0 D m (e rx ϕ)+α1 D m−1 (e rx ϕ)+ · · · +αm−1 D(e rx ϕ)+αme rx ϕ
=e rx [α0 (D+r) m +α1 (D+r) m−1 + · · · +αm−1 (D+r)+αm]ϕ
= e rx Q(D + r)ϕ.
Propozit¸ia 7.21 Solut¸ia generală a ecuat¸iei
este
(D − r) k y = 0
y(x) = c0 e rx + c1 x e rx + · · · + ck−1 x k−1 e rx .
Demonstrat¸ie. Conform propozit¸iei anterioare avem relat¸a
D k (e −rx y) = e −rx (D − r) k y
care arată că ecuat¸ia (D − r) k y = 0 este echivalentă cu ecuat¸ia
care implică
adică
D k (e −rx y) = 0
e −rx y(x) = c0 + c1 x + · · · + ck−1 x k−1
y(x) = c0 e rx + c1 x e rx + · · · + ck−1 x k−1 e rx .